MARTIN GARDNER

LEGKEDVESEBB
MATEMATIKAI
ÉS LOGIKAI FEJTÖRŐIM

– részlet –

FORDÍTOTTA KEPES JÁNOS

A fordítás a következő kiadás alapján készült:
My Best Mathematical and Logical Puzzles
Dover, New York, 1994
Copyright © 1994 by Martin Gardner
Hungarian translation © Kepes János, 2024
Hungarian edition © Typotex, Budapest, 2024
Engedély nélkül semmilyen formában nem másolható!

Lektorálta: Fried Katalin

ISBN 978 963 493 182 9

Typotex Kiadó
Alapította Votisky Zsuzsa, 1989
A kiadó az 1795-ben alapított Magyar Könyvkiadók
és Könyvterjesztők Egyesülésének tagja.
Felelős kiadó: Németh Kinga
Felelős szerkesztő: Széll Szilvia
Borítóterv: Coverist Studio – Bakos Fanni, Faniszló Ádám
Elektronikus könyv: Nagy Lajos

Tartalom

Bevezetés

1. Megtért utazó

2. Különleges póker

3. Csonka sakktábla

4. Válaszút

5. Összekavart dobozfedelek

6. Metélt kocka

7. Bronx vagy Brooklyn?

8. Izgága ingázó

9. Hamis pénzérmék

10. Érintkező cigaretták

11. Két komp

12. Mekkora az átló?

13. A rácson át

14. Tizenkét gyufa

15. Lyuk a gömbben

16. Szerelmes bogarak

17. Hány gyerekről van szó?

18. Csavaros csavarok

19. Repülés a világ körül

20. Megkettőzött szám

21. Összeütköző rakéták

22. Csúszópénz

23. Kézfogás

24. Hárbaj

25. Átkelés a sivatagon

26. Lord Dunsany sakkfeladványa

27. Egy árva nyolcas

28. Tortaosztás

29. Papírhajtogatás

30. Víz és bor

31. Szórakozott pénztáros

32. Hegyesszögű felosztás

33. Hány mérföld egy mérhold?

34. Googol-játék

35. Kadétmenet és kutyaügetés

36. Szőke, Fekete, Barna

37. Repülés szélben

38. Milyen drága állatok?

39. Hippijáték

40. Egy váltós feladat

41. Országúti sörreklámok

42. Kettévágott kocka és fánk

43. Fele jin-jang

44. Kék szemű nővérek

45. Mennyire vén a vörös város?

46. Versenyszámtan

47. Huszonhét kocka és a termesz

48. Érmék átcsúsztatása

49. Pirulásnyi idő

50. Egy fixponttétel

51. Kant órája

52. Barkochba ismert valószínűségekkel

53. Mégsem matt egy lépésben

54. Hexaéder-keresés

55. Félre a hagymával!

56. A vágásszám levágása

57. Darabolási probléma

58. Félbeszakadt bridzs

59. Kár a gőzért

60. Vezérlépések

61. Hieroglifák megfejtése

62. Agyafúrt vágás

63. Kigolyózás

64. Kihúzni a bajból

65. Kutyaszorító

66. Hallatlan hajtogatás

Megoldások

Jegyzetek

Bevezetés

Ameddig abban a rendkívül kiváltságos helyzetben voltam, hogy mintegy huszonöt éven át a Scientific American magazin Matematikai játékok című rovatát vezethettem, szokásom szerint nagyjából félévente egy úgynevezett rövid problémát vagy rejtvényt állítottam a középpontba. Ezek persze inkább matematikai jellegűek voltak, mintsem szójátékok. Tőlem telhetőleg igyekeztem olyan új, szokatlan feladatokat bemutatni, amilyeneket nem lehetett megtalálni Sam Loyd, Henry Dudeney és mások klasszikus gyűjteményeiben.

Az olvasók gyorsan kiszúrták a hibákat, és előfordult, hogy más megoldásokkal és érdekes általánosításokkal álltak elő. Az efféle értékes reakciókat aztán beépítettem a rejtvényrovat későbbi, könyv alakban kiadott gyűjteményeibe is.

Jelen könyv legtöbb feladatát az első három ilyen gyűjteményből vettem. Az utolsó tizenkét rejtvény a Games magazin 1978. január–februári, illetve november–decemberi számába írt két cikkemből származik. Némelyiket átdolgoztam, vagy megjegyzésekkel egészítettem ki a rejtvénnyel kapcsolatos újabb fejlemények tükrében.

Martin Gardner

Fejtörők

1. Megtért utazó

Egy réges-régi fejtörő a következőképpen hangzik. Egy utazó egy kilométert halad egyenesen dél felé, ott elfordul, és megtesz egy kilométert egyenesen kelet felé, majd ott ismét elfordul, és egy kilométert halad egyenesen észak felé. Visszaérkezik oda, ahonnan elindult. Ott lelő egy medvét. Milyen színű a medve? A hagyományos válasz: „fehér”, mert az utazónak az Északi-sarkról kellett indulnia. Nemrégiben azonban valaki rájött, hogy a megadott feltételeknek nem csak az Északi-sark tesz eleget. El tudunk képzelni bármely más pontot a földgömbön, ahonnan egy kilométeres déli, aztán keleti, majd északi út után az ember visszaérkezik a kiindulópontjára?

»Megoldás«

2. Különleges póker

Ketten lapcserés pókermeccset játszanak a következő különös szabályok szerint. Kiterítenek az asztalra ötvenkét lapot felfordítva, hogy mindketten lássák az összeset. Az első játékos fölvesz öt tetszőleges lapot. Aztán ugyanígy tesz a második is. Ezután az első vagy megtartja a lapjait, vagy húzhat újakat is, annyit, hogy legfeljebb öt lap legyen a kezében. Amit nem tart meg, azt félreteszik, többé nem vesz részt a játékban. Most a második is ugyanígy jár el. Ezután az a játékos nyer, akinek magasabbak a lapjai. A színek azonos értékűek, két egyszínű lapkombináció közül tehát az ér többet, amelyikben magasabb értékű lapok vannak. A játékosok egy idő után rájönnek, hogy mindig a kezdő játékos nyer, ha az első körben jól választ. Milyen lapkombinációt kell ehhez felvennie?

»Megoldás«

3. Csonka sakktábla

Ehhez a feladathoz kell egy sakktábla és harminckét dominó. Mindegyik dominó akkora, hogy pontosan két szomszédos mezőt fedjen le a sakktáblán. Tehát a harminckét dominóval lefedhetjük a sakktábla mind a hatvannégy négyzetét. Tegyük fel, hogy most levágjuk a sakktábla két, átlósan szemben álló mezőjét, és eldobunk egy dominót. El lehet-e helyezni a harmincegy dominót a táblán úgy, hogy mind a hatvankét megmaradt mezőt lefedje? Ha igen, hogyan? Ha nem, bizonyítsuk be, miért!

»Megoldás«

4. Válaszút

Íme, egy régi logikai fejtörő újabb változata. A déltengereken nyaraló logikus olyan szigetre kerül, ahol a hazugok és igazmondók két legendás törzse lakik. Az egyik törzs tagjai mindig igazat mondanak, a másikéi örökösen hazudnak. A logikus útelágazáshoz érkezik, meg kell tehát kérdeznie egy arra járó bennszülöttet, melyik út vezet a közeli faluba. Ám semmiképpen sem tudja eldönteni, hogy az őslakos igazmondó-e vagy hazug. Elgondolkodik egy pillanatra, aztán feltesz egyetlen kérdést. A válaszból rögtön tudja, merre kell mennie. Mit kérdez?

»Megoldás«

5. Összekavart dobozfedelek

Képzeljük el, hogy három dobozunk egyikében két piros, a másikban két kék, a harmadikban egy kék és egy piros golyó van. Mindegyik doboz tetején címke jelzi, hogy mi van benne – piros-kék, kék-kék, piros-piros –, de valaki úgy összekavarta a dobozok fedelét, hogy már egyik címke sem a doboz valóságos tartalmát jelzi. Egyszerre egy golyót vehetünk ki valamelyik dobozból, de anélkül, hogy belenéznénk. Ilyen mintavételezéssel kell megállapítanunk a három doboz tartalmát. Legalább hány dobozból kell golyót húznunk ehhez?

»Megoldás«

Megoldások

1. Megtért utazó Van-e még a Földnek olyan pontja, az Északi-sarkon kívül, ahonnan egy kilométert dél, kelet, majd észak felé megtéve visszajutunk a kiindulópontba? Van bizony, sőt, nem is egy, hanem végtelenül sok! A Déli-sark körül egy (nagyjából 1,16) kilométernél valamivel távolabb meghúzott kör bármelyik pontjáról elindulhatunk – azért „valamivel távolabb”, mert a Föld görbületét is figyelembe kell vennünk. Ha innen egy kilométert gyalogoltunk dél felé, ezt követően keleti irányban megteszünk egy teljes kört a Déli-sark körül, onnan észak felé egy kilométeres úttal visszajutunk a kezdőpontba. Ily módon a kezdőpont a Déli-sark körül 1,16 kilométeres sugárral húzott kör végtelen sok pontjának bármelyike lehet. És ez még nem minden! A Déli-sarkhoz közelebbi pontokból is kiindulhatunk, ha például kelet felé tartva pontosan kétszer, háromszor, négyszer és így tovább kerüljük meg a sarkot.

2. Különleges póker 88 nyerő kiinduló kéz van, amelyek két osztályba sorolhatók: (1) négy darab tízes és bármilyen más lap (48 kéz); (2) három tízes, és a tízesektől különböző színben a következő párok közül bármelyik: ász-9, király-9, dáma-9, bubi-9, király-8, dáma-8, bubi-8, dáma-7, bubi-7, bubi-6 (40 kéz).

3. Csonka sakktábla Az átlósan szemben álló két mező egyforma színű. Ha tehát levágjuk őket, az egyik színből kettővel több marad, mint a másikból. Minden dominó két ellentétes színű mezőt fed le, mert szomszédok csak ilyenek lehetnek. Ha harminc dominót sikerül is elhelyezni, azok csak harminc sötét és harminc világos mezőt fedhetnek le, a fennmaradó két mező színe viszont megegyezik, tehát nem fedhetők le egy dominóval. Vagyis a megcsonkított táblát képtelenség harmincegy dominóval lefedni.

Tegyük fel most, hogy két ellenkező színű mezőt vágtunk le a sakktábláról. Be tudjuk-e bizonyítani, hogy akármelyik két négyzetről van szó, a tábla fennmaradó része lefedhető harmincegy dominóval? Ez mindig lehetséges, és erre egyszerű, elegáns bizonyítást találunk az Aha! Insight című könyvemben (W. H. Freeman, 1978, 19.)

4. Válaszút Ha „igen” vagy „nem” választ szeretnénk, többféle megoldás létezik, de mind ugyanazon a trükkön alapul. A logikus például rámutat az egyik útra, és ezt kérdezi az őslakostól: „Ha megkérdeznélek, hogy ez az út vezet-e a faluba, igent felelnél-e?” Az őslakos kénytelen-kelletlen a helyes választ adja, még akkor is, ha hazudós! Mert ha az út valóban oda vezet, az egyenes kérdésre persze nemmel válaszolna, de az ily módon feltett kérdésre hazudik, tehát igent mond. Így aztán a logikus biztos lehet benne, hogy az út valóban a faluba vezet, akár igazmondóval, akár hazuggal áll szemben. Ha viszont nem az az út vezet a faluba, a hazugnak ugyanígy nemmel kell válaszolnia az érdeklődő kérdésére.

Hasonlóképpen, ez is lehetne a kérdés: „Ha megkérdeznék egy másik törzsbelit, hogy ez az út vezet-e a faluba, igennel felelne-e?” A kérdésben megbúvó másik kérdés keltette homályt leginkább talán ilyen megfogalmazással kerülhetnénk el (a michigani Ann Arbourból Warren C. Haggstrom javaslatára): „Pontosan egy kijelentés igaz-e az alábbi kettő közül: »Te hazug vagy« és »Ez az út vezet a faluba.«” Az igen válasz itt is azt jelzi, hogy ez a jó út, a nem pedig azt, hogy nem, attól függetlenül, hogy az őslakos igazat mond-e, vagy hazudik.

A Cambridge-i Egyetem kozmológusa, Dennis Sciama és a John McCarthy a New Hampshire-i Hanoverből hívta fel a figyelmemet a problémában rejlő további gyönyörű csavarra. „Tegyük fel – írta McCarthy a Scientific American 1957. áprilisi számában közölt levelében –, hogy a logikus beszéli az őslakosok nyelvét. Azt is tudja, hogy pitty és putty jelenti az igent és a nemet, csak elfelejtette, hogy melyik melyiket. Így is el tudja dönteni, melyik út vezet a faluba. Rámutat az egyik útra, és az kérdezi: »Pittyel felelnél-e, ha megkérdeznélek, hogy ez az út vezet-e a faluba?« Ha az őslakos pittyet mond, a logikus biztos lehet benne, hogy az általa jelzett út a faluba vezet, bár az őslakos igazmondó vagy hazug természetét és a pitty meg putty jelentését illetően továbbra sem oszlik el a homály. Ha pedig putty a válasz, az ellenkező következtetést vonhatja le.”

Igazmondókról és hazugokról (vagy lovagokról és lókötőkről) szóló leleményes feladatok százait olvashatjuk Raymund M. Smullyan matematikus-logikus feladványos könyveiben.

5. Összekavart dobozfedelek Mind a három doboz tartalmáról meggyőződhetünk egyetlen golyó kihúzásával. A megoldás kulcsa abban rejlik, hogy mindhárom doboz címkéje téves. A „piros-kék” címkét viselő dobozból kell kihúznunk egy golyót. Tegyük fel, hogy ez piros. Akkor a másik golyónak is pirosnak kell lennie, különben helytálló volna a címke. Miután pedig megtaláltuk a két piros golyót tartalmazó dobozt, azt is rögtön tudjuk, mi van a „kék-kék” feliratú dobozban. Két kék golyó nem lehet, hiszen ennek is hibás a címkéje. De nem lehet két piros sem, mert azt a dobozt már megtaláltuk. Tehát egy piros és egy kék golyónak kell benne lennie. Így persze a harmadik dobozban mindenképpen két kék golyó van. És persze ugyanilyen gondolatmenettel oldhatjuk meg a feladatot akkor is, ha a „piros-kék” feliratú dobozból kihúzott golyó nem piros, hanem kék.

Kedves Olvasó!
Köszönjük, hogy kínálatunkból választott olvasnivalót! Újabb kiadványainkról, akcióinkról a typotex.hu és a facebook.com/typotexkiado oldalakon értesülhet.

ISBN 978 963 493 182 9

Felhasznált betűtípus:
Noto Serif – SIL OFL
Open Sans – Apache License 2.0

www.interkonyv.hu