részlet

A fordítás alapjául szolgáló kiadás:
Milo Beckman: Math Without Numbers
Dutton, An imprint of Penguin Random House LLC

Copyright © 2021 by Milo Beckman
Hungarian translation © 2022 Bujdosó István
Magyar kiadás © 2022 Libri Könyvkiadó, Budapest
Illusztráció © M Erazo
kép itt © Michael Tuchband, University of Colorado Boulder Borítóterv © Lauren-Peters Collaer

ISBN 978 963 604 186 1

Felelős kiadó Gyuricza Eszter
Szerkesztette Gerner József
A szöveget gondozta Horváth Anita
Műszaki szerkesztő Széplaki Gyöngyi
A borítót az eredeti felhasználásával készítette Oláh Gábor

Elektronikus változat:
eKönyv Magyarország Kft.
www.ekonyv.hu
Készítette Ambrose Montanus

Eriknek, aki rávett a könyv megírására

Köszönettel Taylornak a szakmai lektorálásért, Portiának a dialógusért és M-nek, aki életre keltette

Miben hisznek
a matematikusok?

Hisszük, hogy a matematika érdekes, igaz és hasznos
(ebben a sorrendben).

Hiszünk egy „matematikai bizonyításnak” nevezett eljárásban. Hisszük, hogy a bizonyítás útján megszerzett tudás fontos és hathatós.

A fundamentalista matematikus hisz abban, hogy minden – a növények, a szeretet, a zene, valóban minden – (elméletileg) megragadható a matematika fogalmaival.

Tartalom

Topológia

Alakzatok

Sokaságok

Dimenziók

Analízis

A végtelen

A kontinuum

Leképezések

Algebra

Absztrakció

Struktúrák

Következtetés

Az alapok

Egy dialógus

Modellezés

Modellek

Automaták

Tudomány

A szerzőről

Az illusztrátorról

Topológia

Alakzatok

Sokaságok

Dimenziók

Alakzatok

Amatematikusok szeretik átgondolni a dolgokat. Ez a módszerünk. Veszünk egy fogalmat, amit valamilyen szinten mindenki ért, például a szimmetria vagy az egyenlőség fogalmát, majd darabokra szedjük, és megpróbálunk találni benne egy mélyebb jelentést.

Vegyük csak az alakot. Többé-kevésbé mindenki tudja, mit értünk alak alatt. Ránézel egy tárgyra, és pillanatok alatt látod, hogy kerek vagy szögletes, vagy másmilyen. Ám egy matematikus tovább kérdez: Mi az alak? Mitől olyan valaminek az alakja, amilyen? Ha egy tárgyat az alakja alapján azonosítunk, akkor nem foglalkozunk a méretével, a színével, a használhatóságával, a korával, a súlyával, azzal, hogy ki hozta és hogy ki viszi haza. Mivel is foglalkozunk tulajdonképpen? Mi játszódik le a fejünkben, amikor azt mondjuk, hogy valami kör alakú?

Ezek a kérdések persze értelmetlenek. Nincs gyakorlati hasznuk, hiszen az ember ösztönösen is felismeri a formákat, az alakzatokat, és ez rendben is van így – az életben semmi fontos dolog nem múlik azon, hogy hogyan is definiáljuk az „alak” fogalmát. Egyszerűen csak érdekes gondolkodni rajta, ha épp van egy kis szabadidőd, amit épp ezzel akarsz kitölteni.

Tegyük fel, hogy így van. Íme egy kérdés, ami máris felmerülhet benned:

Ez elég egyszerű kérdés, még sincs rá könnyű válasz. A kérdés precíz, pontosan definiált verzióját általánosított Poincaré-sejtésnek nevezik, és már jó egy évszázada foglalkoztatja a matematikusokat, ennek ellenére még mindig nem tudta megoldani senki. Pedig rengetegen próbálkoztak vele, néhány éve egy zseniális matematikusnak oda is ítélték az egymillió dolláros díjat, mivel a probléma egy nagyon nagy részét sikerült megoldania. De még mindig vannak számba nem vett kategóriák, úgyhogy igazából a mai napig fogalmunk sincs, hányféle forma létezik.

Próbáljuk meg mégis megválaszolni ezt a kérdést. Hányféle forma létezik? Ha nincs jobb ötletünk, kezdjünk felrajzolni különféle alakzatokat, aztán meglátjuk, mi sül ki belőle:

Úgy tűnik, attól függ a válasz, hogy pontosan hogyan soroljuk be az alakzatokat különböző kategóriákba. A nagy kör ugyanaz az alakzat, mint a kis kör? A „krikszkraksz” egy kategóriát alkot, vagy felosztjuk további kategóriákra attól függően, hogy mennyire cirkalmas? Szükség lenne tehát valami általános szabályra, amellyel az efféle viták elkerülhetők. Ne kelljen minden esetben mérlegelni, hogy az adott alakzat külön kategóriába tartozik, vagy besorolható egy korábbiba.

Számos olyan szabály létezik, amely remekül megfelel a célnak, azaz segítségükkel megállapíthatjuk, hogy két alakzat ugyanaz vagy különböző. Ha történetesen asztalosként vagy mérnökként dolgozol, nagyon szigorú, precíz szabályra van szükséged: például két alakzat csak akkor tekinthető azonosnak, ha valamennyi hosszmérete, szöge és íve azonos. Az ilyen szabályokból alakult ki a matematikának az a része, amelyet geometriának nevezünk. A geometriában az egyes alakzatok pontosan definiáltak, a geometriában szakaszfelező merőlegest szerkeszthetsz, területet számíthatsz.

Mi ennél kissé rugalmasabb rendszert szeretnénk. Hiszen az összes lehetséges alakzatot keressük, és nincs időnk a krikszkrakszok sok ezer változatának átválogatására. Olyan szabályt keresünk, amely elég nagyvonalúan mondja ki két alakzatról, hogy valójában azonos, így az alakzatok világát kezelhető mennyiségű kategóriákra osztja.

Új szabály

Két alakzat azonosnak tekintendő, ha az egyikből eljuthatunk a másikba nyújtással és összenyomással, szétvágás és összeragasztás nélkül.

Ez a szabály a topológia központi gondolata. A topológiát a geometria kevésbé szigorú, engedékenyebb változatának tekinthetjük. Az alakzatokat vékony, végtelenül nyújtható anyagúnak képzeljük, amelyet úgy lehet csavargatni és nyújtani, mint a gumit vagy a tésztát. A topológiában az alakzat mérete nem játszik szerepet.

Itt a négyzet azonos a téglalappal, nem teszünk különbséget a kör és az ovális között sem.

Itt kezdődnek a furcsaságok. Erre a „nyújtós-összenyomós” szabályra gondolva könnyen beláthatod, hogy a kör és a négyzet ugyanaz!

Még mielőtt a szeretteidhez rohannál azzal, hogy olvastál egy matekkönyvet, amelyik azt állítja, hogy a négyzet kör, ne feledd: fontos a szövegkörnyezet. A négyzet valóban kör, de csak a topológiában. Természetesen az építészetben vagy a mindennapi életben ez nem így van, sőt a geometriában sem, és ha négyzet alakú keréken próbálsz meg biciklizni, nem jutsz messzire.

Itt azonban topológiával foglalkozunk, és ha topológiával foglalkozunk, akkor nem ragadunk le olyan jelentéktelen részleteknél, mint a hegyes szögletek, amelyeket könnyedén szét lehet masszírozni. Nem érdekelnek minket az olyan felszínes különbségek, mint amilyen a szög, a hossz, az egyenes vagy ívelt él. Csak a lényegre koncentrálunk, ami a formát alapvetően meghatározza: azokra a jellemzőkre, amelyektől egy bizonyos alakzat az lesz, ami. Amikor a topológus ránéz egy négyzetre vagy egy körre, nem lát mást, csak egy zárt hurkot. Minden más attól függ, hogy adott pillanatban hogyan nyújtottad vagy nyomtad össze az alakzatot.

Olyan ez, mintha megkérdeznénk: milyen alakja van a nyakláncnak? Lehet négyzet, lehet kör. De bárhogy is fogod meg a láncot, van egy szorosan hozzá tartozó formája, ami annyira alapvető, hogy soha nem változik, akár négyzetre, körre, szívre, félholdra, pacára vagy heptahektahexadacagonra hasonlít.

Mivel ez az alakzat különféle megjelenési formákat ölthet, nem helyes sem négyzetnek, sem körnek hívni. Persze ettől még olykor körnek hívjuk, de a hivatalos neve a topológiában „S1”. S1 a nyaklánc, a karkötő, a befőttesgumi, a versenypálya, az áramkör, a várárok vagy bármely országhatár alakja (ha Alaszkával nem számolunk), az „o” betű és a nagy „D” betű, azaz szinte bármilyen alakot felvehet, a lényeg, hogy önmagába záródó hurok. Ahogy a négyzet a téglalap egy speciális esete, a kör pedig az ellipszisé, mindezek az alakzatok az S1 speciális esetei.

Vannak más alakzatok is? Nagy blamázs lenne, ha a nyújtós-összenyomós szabályunkról kiderülne, hogy annyira általános, hogy az összes létező alakzatot egyetlen kategóriába sorolja. Szerencsére nem ez a helyzet. A topológiában léteznek olyan alakzatok, amelyek nem azonosak a körrel.

Például a vonal, amit drótdarabként is elképzelhetsz:

A drótot meg lehet hajlítani úgy, hogy majdnem kör legyen belőle, de ahhoz, hogy tényleg kör legyen, a két végét össze kellene érinteni – s ez már nem megengedett. Mert tehetsz a dróttal bármit, de arra ügyelned kell, hogy mindig megmaradjon a két kitüntetett pont a két végén, ahol a drót véget ér. A végpontoktól nem szabadulhatsz meg. Forgathatod, tekerheted, nyújthatod, ahogy tetszik, de a két végpont az, ami ennek az alakzatnak elengedhetetlen jellemzője.

Ezért mondjuk a nyolcasra, hogy az már megint egy másik alakzat. Annak ugyan nincsenek végpontjai, de mégiscsak van egy különleges pontja a közepén, ahol a vonalak keresztezik egymást. Ebből a pontból négy kar nyúlik ki , ellentétben a többivel, amelyekből ugyebár csak kettő. Bárhogy nyújthatod, nyomkodhatod, a kereszteződéstől nem szabadulsz meg.

Ha belegondolsz, ennyi információ már elég is, hogy megválaszoljuk az eredeti kérdésünket: „Hányféle forma létezik?” A válasz: végtelen. Ezt be is bizonyítom.

Bizonyítás

Nézd meg az alábbi sorozatot. Az új formákat úgy állítjuk elő, hogy az előzőhöz hozzáteszünk egy további keresztvonalat.

Mindegyik alakzatnak több keresztezőpontja és több végpontja van, mint bármelyik előtte állónak. Tehát valóban mind különböznek egymástól, azaz egy új típusú alakzatot alkotnak. Ha ezt a műveletet végtelen sokszor megismételjük, végtelen sok különböző alakzatot kapunk, vagyis végtelen sok alakzat létezik.

Q. E. D.

[quod erat demonstrandum = ezt kellett bizonyítani]

Meggyőztelek? Annyi a dolgod, hogy keresel egy végtelen alakzatcsaládot, mint amilyen ez is, ahol nyilvánvaló, hogyan lehet új alakzatokat létrehozni tetszőlegesen sokszor megismételhető művelettel.

Az alábbi sorozat ugyanilyen jó:

Ez is:

És ez is jó lett volna:

Bármelyiket is választod bizonyítás gyanánt, az alapelv ugyanaz. Meg akarod mutatni, hogy valamiből végtelen sok létezik, s ezt úgy éred el, hogy leírsz egy eljárást, amelynek a végén előáll egy új, a többitől különböző példány az adott dologból. Ezt nevezzük „végtelen család” érvelésnek, és a matematikában elég gyakran alkalmazzuk, ha azt akarjuk megmutatni, hogy valamiből végtelen sok van. Számomra elég meggyőző is – és el sem tudom képzelni, hogyan lehetne megcáfolni. Kell, hogy végtelen sok legyen valamiből, ha egyszer mindig képesek vagyunk újabbat és újabbat létrehozni belőle.

És ezt nem csak én gondolom így. A matematikusok teljes közössége elfogadja a „végtelen család” érvelést érvényes matematikai bizonyításnak. Van még egy sor ehhez hasonló bizonyítási módszer, ugyanezt az érvelést használhatjuk különböző kontextusban, hogy különböző dolgokat bizonyítsunk. Akik sokat foglalkoznak matematikával, előbb-utóbb észreveszik, hogy ugyanazt az érvelést használják újra meg újra. És (legtöbbször) mindenki egyetért abban, hogy melyek azok a bizonyítások, amelyeket elfogadhatónak, azaz érvényesnek tartunk.

Ha te is elfogadod ezt a bizonyítást, már meg is válaszoltuk az eredeti kérdésünket: „Hányféle forma létezik?” A válasz: végtelen sok. Ez azért nem túl érdekes válasz, de hát ez van, ezt a választ kaptuk. Ha egyszer felteszünk egy kérdést, és lefektetjük a válaszadás szabályait, a válasz tulajdonképpen már meg is van. Csak még meg kell találnunk.

Az első kérdés, ami az emberben felmerül, nem mindig vezet a legérdekesebb válaszhoz, ahhoz, amelytől aztán hirtelen minden más megvilágításba kerül. Ilyenkor feladhatjuk, és kereshetünk valami más gondolkodnivalót, vagy megfogalmazhatunk egy jobb kérdést.

Forgalmazza:
eKönyv Magyarország Kft.
www.ekonyv.hu

Felhasznált betűtípusok
Jost – SIL Open Font License
Noto Sans Math – SIL Open Font License
Noto Serif – Apache License 2.0