Különleges számok nyomában

Mario Livio

Aranymetszés

A fi
bámulatos
története
– részlet –

Fordította
Torma Péter

The Golden Ratio.
The Story of phi, the World’s Most Astonishing Number
Broadway Books, New York, 2002
Copyright © Mario Livio, 2002

No part of this book may be used or reproduced in any manner for the purpose of training artificial intelligence technologies or systems. This work is reserved from text and data mining (Article 4(3) Directive (EU) 2019/790). This edition published by arrangement with Crown, an imprint of the Crown Publishing Group, a division of Penguin Random House LLC.

Hungarian translation © Torma Péter, 2026
Hungarian edition © Typotex Kiadó, Budapest, 2026
Ezt a könyvet ember írta és ember fordította.
Engedély nélkül semmilyen formában nem másolható!

Lektorálta: Bokor Nándor, Fried Katalin

ISBN 978 963 493 365 6
ISSN 3004-2208

Typotex Kiadó
Felelős kiadó: Németh Kinga
Felelős szerkesztő: Brunner Ákos
Sorozatszerkesztő Bokor Nándor
Szerkesztette: Böröczki Tamás
Tördelés: Juhász Lehel
Borítóterv: Somogyi Péter
Elektronikus könyv: Nagy Lajos

Édesapám, Robin Livio emlékére

Tartalom

Előszó

1. Előjáték egy számhoz

2. A hangok és a pentagramma

3. Piramis verjen csillagos eget?

4. A második kincs

5. A jóindulatú fia

6. Az isteni arány

7. Festő és költő bármit kiagyalhat

8. A kőpadlótól a mennyekig

9. Isten, a matematikus?

Függelék

Ajánlott olvasmányok

Jegyzetek

Előszó

Ez a könyv egyetlenegy számról szól – egy nagyon különleges számról. Ez a szám, az 1,61803… művészettörténeti előadásokban és matematikusok kedvenc számaikról összeállított listáin egyaránt előfordul. Még ennél is döbbenetesebb, hogy számos pszichológiai kísérlet tárgya is volt.

Én magam tizenöt évvel ezelőtt kezdtem érdeklődni ez iránt az aranyaránynak nevezett szám iránt, amikor egy előadásra készültem a fizikai esztétikáról (nem, ez nem oximoron), és azóta sem tudom kiverni a fejemből.

Ehhez a könyvhöz számos tudományterületen dolgozó kollégám, barátom és tanítványom nyújtott közvetlen vagy közvetett segítséget, sokkal többen annál, semhogy mindegyiküket megemlíthetném. Itt Ives-Alain Bois-nak, Mitch Feigenbaumnak, Hillel Gauchmannak, Ted Hillnek, Ron Lifschitznek, Roger Penrose-nak, Johanna Postmának, Paul Steinhardtnak, Pat Thielnek, Anne van der Helmnek, Divakar Viswanathnak és Stephen Wolframnek szeretnék különös köszönetet mondani a felbecsülhetetlen értékű információkért és a rendkívül hasznos beszélgetésekért.

Hálás vagyok kollégáimnak: Daniela Calzettinek, Stefano Casertanónak és Massimo Stiavellinek a latin és olasz, Claus Leiterernek és Hermine Landtnak a német, valamint Patrick Godonnak a francia fordításokhoz nyújtott segítségükért. Sarah Stevens-Rayburn, Elizabeth Fraser és Nancy Hanks nagyon értékes életrajzi és nyelvészeti adatokkal látott el. Külön köszönet illeti Sharon Toolant, aki a kézirat előkészítésében segédkezett.

Őszinte hálámat szeretném kifejezni ügynökömnek, Susan Rabinernek a fáradhatatlan biztatásért a könyv írása előtt és alatt.

Nagyon sokkal vagyok adósa Gerald Howardnak, szerkesztőmnek a Doubleday Broadwaynél, amiért alaposan átnézte és hasznos megjegyzésekkel látta el a kéziratot. Ugyancsak hálás vagyok Rebecca Hollandnek, a Doubleday Broadway értékesítési igazgatójának a könyv elkészüléséhez nyújtott lankadatlan segítségéért. Végül pedig: ez a könyv soha nem jött volna létre Sofie Livio szakadatlan ösztönzése és türelmes támogatása nélkül.

1
Előjáték
egy számhoz

Sok van, mi csodálatos…‍¹

Szophoklész (Kr. e. 495–405)

Lord Kelvin, a híres angol fizikus (William Thomson, 1824–1907), akiről az abszolút hőmérsékleti skála kapta a nevét, egyszer egy előadásában ezt mondta: „Silány és elégtelen az a tudás, amelyet nem lehet számokban kifejezni.” Kelvin itt természetesen a tudomány előrébbviteléhez szükséges tudásra gondolt. A számoknak és a matematikának azonban különös hajlamuk van arra, hogy olyan dolgokat is segítsenek megérteni, amelyek, legalábbis látszólag, nagyon távol esnek a tudománytól. Edgar Allan Poe Marie Rogêt titokzatos eltűnése című elbeszélésében Auguste Dupin, a híres detektív így fogalmazza ezt meg: „A véletlent teljességgel kiszámíthatóvá tesszük. A váratlan és elképzelhetetlen dolgokat az iskolai matematika képleteinek vetjük alá.” Egyszerűsítsük ezt le, és vegyünk egy példát, amellyel talán már az olvasó is találkozott, amikor például házibulit szervezett. Van egy tábla csokoládénk, amely tizenkét kockából áll. Hány törés szükséges ahhoz, hogy valamennyi kockát elkülönítsük egymástól? A válasz sokkal egyszerűbb, mint talán gondolnák, és szinte semmiféle számítást nem igényel. Minden törés után eggyel több darab csokoládénk lesz, mint előtte. Ha tehát tizenkét darabra akarjuk törni a táblát, ahhoz tizenegy törésre lesz szükség. (Lehet ellenőrizni.) Általánosítva: a táblát alkotó kockák számától függetlenül a szükséges törések száma mindig eggyel kevesebb a kockák számánál.

1. ábra

A csokoládét nem kedvelők számára is világos, hogy ez a példa egy egyszerű matematikai szabályt demonstrál, amely számtalan más helyzetben is alkalmazható. A matematikai tulajdonságok, képletek és számok mellett azonban (amelyeknek egy jó részét úgyis elfelejtjük) létezik néhány különleges szám is, amelyek annyira áthatnak mindent, hogy nem győzünk ámulni rajtuk. Közülük a leghíresebb a 𝜋 (pi), amely bármely kör kerületének az átmérőjéhez viszonyított arányát fejezi ki. A 𝜋, amelynek értéke 3,14159…, matematikusok számos nemzedékét nyűgözte már le. Bár eredetileg a geometriában határozták meg, a 𝜋 gyakran és váratlanul előkerül egyes valószínűségértékek kiszámítása során is. Ennek egy híres példája a Buffon-féle tűprobléma, amely annak a George-Louis Leclercnek, Buffon grófjának (1707–1788) a nevét őrzi, aki 1777-ben felvetette és megoldotta ezt a valószínűségi problémát. A következőképpen hangzik. Tegyük fel, hogy a padlón egy nagy papírlap hever, amelyre egyenlő távolságonként párhuzamos egyenes vonalak vannak húzva. Egy pontosan a vonalak közötti távolsággal megegyező hosszúságú tűt teljesen véletlenszerűen leejtünk a papírlapra. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a leeső tű metszeni fogja az egyik vonalat (pl. úgy, ahogyan az 1. ábrán látható)? Meglepő módon a válasz 2⧸𝜋. Ezért 𝜋 értéke elméletileg meghatározható úgy, hogy elég sokszor ledobjuk a tűt, és megfigyeljük, hogy az összes dobás mekkora hányadában keresztezett egy vonalat. (Vannak a 𝜋 értékének meghatározására kevésbé unalmas módszerek is.) A 𝜋 annyira beépült a köztudatba, hogy Darren Aronofsky rendező 1998-ban egy intellektuális thrillert is forgatott ezzel a címmel.

A 𝜋‑nél kevésbé ismert, pedig sok tekintetben még inkább lenyűgöző szám a 𝜑 (fi). Tegyük fel, hogy megkérdezem: mi az összefüggés a rózsa szirmainak szemet gyönyörködtető elrendezése, Salvador Dalí Az utolsó vacsora című híres festménye, egyes puhatestűek csodálatos, spirál alakú háza és a nyulak szaporodása között? Nehéz elhinni, de ezek az egymástól távoli példák egyaránt összefüggenek egy bizonyos, az ókor óta ismert számmal vagy geometriai aránnyal, amely a 19. században a megtisztelő aranyarány, aranyszám vagy aranymetszés nevet kapta.‍² Sőt egy, a 16. században Itáliában megjelent könyv szerzője attól sem riadt vissza, hogy egyenesen isteni aránynak nevezze.

A mindennapi életben arányon összehasonlító viszonyt értünk a dolgok részeinek nagysága vagy mennyisége között, illetve akkor használjuk, ha a különböző részek közötti harmonikus kapcsolatot szeretnénk leírni (például a büntetés arányban áll az elkövetett bűnnel). A matematikában ezt a szót egy bizonyos típusú egyenlőség leírására használjuk: a kilenc úgy aránylik a háromhoz, ahogyan a hat a kettőhöz. Amint később látni fogjuk, az aranyarány a két definíció izgalmas keverékét adja: miközben matematikailag határozzuk meg, egyúttal úgy tartják, hogy kellemesen harmonikus minőségekkel rendelkezik.

A később aranyaránynak elnevezett arány első tiszta definícióját a geometria mint formális deduktív rendszer létrehozója, Alexandriai Eukleidész adta meg Kr. e. 300 körül. Eukleidészre és fantasztikus eredményeire a 4. fejezetben még visszatérünk, itt szabadjon csupán annyit megjegyeznem róla, hogy akkora csodálatot parancsolt, hogy Edna St. Vincent Millay amerikai költőnő 1923-ban még verset is írt Euclid Alone Has Looked on Beauty Bare (A Szépre ő, Euclides talált) címmel. Millay jegyzetei is fennmaradtak egy eukleidészi geometriáról szóló kurzusról. Eukleidész egy úgynevezett „folytonos arányról” írt, amely egy szakasz két részre osztásából származik. Az ő szavaival élve:

Azt mondjuk egy szakaszról, hogy folytonos arányban van felosztva, ha a nagyobb szelet úgy aránylik a kisebbhez, mint a teljes szakasz a nagyobb szelethez.‍³

2. ábra

Másképpen fogalmazva: ha megnézzük a 2. ábrát, világos, hogy az 𝐴𝐵 szakasz hosszabb az 𝐴𝐶-nél, ugyanakkor 𝐴𝐶 hosszabb a 𝐵𝐶-nél. Ha 𝐴𝐶 hossza ugyanúgy aránylik 𝐵𝐶-éhez, mint 𝐴𝐵-é 𝐴𝐶-éhez, akkor az 𝐴𝐵 szakasz folytonos arányban, vagyis az aranymetszés szerint van felosztva.

Ki gondolta volna, hogy ez az ártatlannak tűnő felosztás, amelyet Eukleidész kizárólag geometriai célból definiált, mennyi témára fog kihatni a növények leveleinek elrendeződésétől a több milliárd csillagból álló galaxisok szerkezetéig, a matematikától a művészetig? Az aranyarány ezért csodálatos példája a szélsőséges ámulatnak, amelyet Albert Einstein (1879–1955), a híres fizikus oly nagyra tartott. Mint mondta: „A legőszintébb érzés, amelyet átélhetünk, az, amely a rejtéllyel szembesülve fog el bennünket. Ez az alapvető érzelem ringatja a tudomány és a valódi művészet bölcsőjét. Aki nem ismeri, aki nem képes már a csodálkozásra és az ámulatra, az jóformán nem is él, olyan, akár a kioltott gyertya.”

Mint azt később kiszámítva is látjuk majd, az aranyarány (a 2. ábrán látható 𝐴𝐶 és 𝐶𝐵 szakaszok hosszának aránya) pontos értéke egy végtelen, nem szakaszos tizedestört: 1,6180339887…, és az ilyen végtelen számok már az ókor óta izgatják az embereket. Egy történet szerint amikor Metapontumi Hippaszosz görög matematikus a Kr. e. 5. században felfedezte, hogy az aranymetszés nemcsak hogy nem egész szám (mint az ismerős 1,2,3…), de nem írható fel két egész szám hányadosaként sem (mint pl. az 1⧸2, 2⧸3, 3⧸4 stb. – az ennek a definíciónak megfelelő számokat nevezzük racionális számoknak), az valósággal sokkolta a híres matematikus, Püthagorasz követőit, a püthagoreusokat. A püthagoreus világnézet (amellyel a 2. fejezetben részletesen is foglalkozunk) az arithmosznak – az egész számok és hányadosaik lényegi tulajdonságainak – és annak világmindenségben betöltött szerepének mélységes csodálatán alapult. A felfedezés, hogy léteznek olyan számok, mint amilyen az aranyarány, amelyek a végtelenségig folytatódnak mindenféle ismétlődés vagy mintázat nélkül, valóságos filozófiai krízist okozott számukra. A legenda még azt is hozzáteszi, hogy a rendkívüli felfedezéstől letaglózott püthagoreusok rémületükben száz ökröt áldoztak fel, bár ez nagyon is valószínűtlenül hangzik, mivel szigorúan vegetáriánusok voltak. Ezen a ponton hangsúlyoznom kell, hogy e történetek közül sok nagyon szegényesen dokumentált ismeretanyagra épül. Az úgynevezett irracionális számok felfedezésének pontos idejét nem tudjuk biztosan. Igaz, egyes kutatók a Kr. e. 5. századra datálják, ami legalább időben egybevágna az imént leírt eseményekkel. Annyi azonban bizonyos, hogy a püthagoreusok annyira iszonytatónak találták az ilyen számok létezését, hogy úgy tartották, az csakis valamilyen kozmikus hiba jele lehet, amelyet el kell hallgatni és titokban kell tartani.

Az, hogy az aranymetszés arányszáma nem fejezhető ki két egész szám hányadosaként (mint a racionális számok), egyszerűen azt jelenti, hogy a 2. ábrán az 𝐴𝐶 és 𝐶𝐵 szakaszok hosszának aránya nem írható fel törtszámként. Vagyis akárhogy keresgélünk, nem fogunk olyan egységet találni, amelynek 𝐴𝐶 hossza pontosan mondjuk a 31-szerese, 𝐶𝐵-é pedig pontosan mondjuk a 19-szerese volna. Az olyan szakaszokat, amelyekre nem mérhető fel egész számszor ugyanaz az egységnyi szakasz, inkommenzurábilisnak vagy összemérhetetlennek nevezzük. Az aranymetszés arányszáma mint irracionális szám felfedezése tehát egyben az összemérhetetlenség felfedezése is volt. A szíriai nemesi családból származó filozófus és történetíró, Iamblikhosz A püthagoreusok életviteléről című munkájában (Kr. u. 300 k.) így ír a felfedezésre adott erőszakos reakcióról:

Azt beszélik, hogy az elsőt, aki feltárta az összemérhetőség és összemérhetetlenség természetét azok előtt, akik nem voltak méltók rá, hogy ezt az elméletet megosszák velük, annyira meggyűlölték, hogy nem csupán kitiltották közösségükből és életükből, de síremléket is emeltek neki, mintha egykori társuk eltávozott volna az élők közül.

A matematikai szakirodalomban az aranymetszés arányszámának szimbóluma általában a görög tau (𝜏, a „metszeni” vagy „metszés” jelentésű τομή, azaz tomé szó kezdőbetűje). A 20. század elején azonban Mark Barr amerikai matematikus a phi (𝜑) nevet adta neki, a kb. Kr. e. 490 és 430 között élt nagy görög szobrász, Pheidiasz nevének kezdőbetűjét. Pheidiasz legnagyszerűbb művei az athéni Athéna Parthenosz-szobor, illetve az olümpiai templom Zeusz-szobra voltak. Ezenkívül hagyományosan a Parthenon több szobrát is neki tulajdonítják, bár valószínű, hogy ezek közül sok a tanítványai vagy a segédei munkája. Barr azért döntött úgy, hogy ily módon tiszteli meg a művészt, mert több művészettörténész állítja, hogy Pheidiasz gyakran és módszeresen alkalmazta a szobrain az aranymetszést. (A könyvben alaposan utánajárunk majd az ehhez hasonló állításoknak.)

Az ókori Görögországban élt Püthagorasztól és Eukleidésztől Pisai Leonardo (más néven Fibonacci) középkori itáliai matematikuson és Johannes Kepler reneszánsz kori csillagászon át a tudomány olyan jelenkori alakjaiig, mint Roger Penrose oxfordi fizikus, minden idők legnagyobb matematikai elméi közül sokan számtalan órát töltöttek ezzel az egyszerű aránnyal és tulajdonságaival. De az aranyarány iránti rajongás nem korlátozódik a matematikusokra. Biológusok, művészek, zenészek, történészek, építészek, pszichológusok, sőt még misztikusok is taglalták és vitatták mindenütt megnyilvánuló természetét és vonzerejét. Nyugodtan kijelenthetjük, hogy az aranyarány, a 𝜑 több gondolkodót inspirált, mint bármelyik másik szám a matematika történetében.

Iszonyatos mennyiségű kutatást szenteltek – különösen Roger Herz-Fischler kanadai matematikus és író (aki A Mathematical History of the Golden Number, vagyis „Az aranyarány matematikai története” című kitűnő könyvében ír erről) – annak az egyszerű kérdésnek is, hogy honnan ered az aranymetszés név. Annak tudatában, hogy mekkora lelkesedést generált ez az arány már az ókor óta, azt gondolhatnánk, hogy a névnek is antik eredete van. Egyes tekintélyes matematikatörténeti művek, mint például François Lasserre La naissance des mathématiques à l’époque de Platon (A matematika születése Platón korában) és Carl B. Boyer A History of Mathematics (A matematika története) című munkája azonban a 15., illetve a 16. századra teszik a név megjelenését. Csakhogy a jelek szerint ez sem helyes. Amennyire a történeti oknyomozó írások nagy részét átnézve meg tudom állapítani, az elnevezést először Martin Ohm német matematikus (Georg Simon Ohm fizikusnak, a feszültség és az áramerősség összefüggését leíró Ohm-törvény névadójának fivére) használta 1835-ben, Die reine Elementar-Mathematik (A tiszta elemi matematika) című könyvében. Ohm egy lábjegyzetben így ír: „Egy tetszőleges szakasznak e két részre osztását aranymetszésnek is szokás nevezni.” Ez a megfogalmazás egyértelműen azt sugallja, hogy nem ő találta ki az elnevezést, hanem egy általánosan elfogadott terminust használt. A tény azonban, hogy a könyv első, 1826-os kiadásában még nem szerepel, arra enged következtetni, hogy az aranymetszés (németül goldener Schnitt) kifejezés az 1830-as évekre válhatott népszerűvé. Szóban, talán nem matematikus körökben korábban is használhatták. Az azonban nem kérdés, hogy Ohm könyve után az aranymetszés egyre gyakrabban jelenik meg a német matematikai és művészettörténeti irodalomban. Az angolban talán James Sully esztétikai szócikkében debütált az Encyclopaedia Britannica kilencedik kiadásában, 1875-ben.‍⁴ A cikkben szerepel egy „érdekes kísérleti kutatómunka […], melyet [Gustav Theodor] Fichtner [19. századi német fizikus és úttörő pszichológus] végzett az »aranymetszés« mint látható arányosság állítólagos felsőbbrendűségének kérdésében” (Fichtner kísérleteiről a 7. fejezetben lesz szó). Matematikai kontextusban először E. Ackermann The Golden Section (Az aranymetszés) című tanulmányában bukkan fel angolul a kifejezés, amely 1895-ben jelent meg az American Mathematical Monthly folyóiratban, illetve előfordul a jól ismert tanár és író, G. Chrystal (1851–1911) nem sokkal későbbi, 1898-as, Introduction to Algebra (Bevezetés az algebrába) című könyvében is. Csak érdekességképpen jegyzem meg, hogy az aranyszám egyetlen definíciója, amely a francia Nouveau Larousse Illustré enciklopédia 1900-as kiadásába bekerült, így szól: „A holdciklus éveinek jelzésére használatos szám.” Ez az egyes naptári évek pozíciójára utal azon a tizenkilenc éves cikluson belül, melyet követően a holdfázisok ismét ugyanazokra a dátumokra esnek. Láthatóan a francia matematikai nómenklatúrába kissé lassabban került be a kifejezés.

De mire ez a nagy felhajtás? Mi teszi ezt a számot vagy geometriai arányt annyira izgalmassá, hogy ilyen nagy figyelmet érdemel?

Az aranyarány vonzereje elsősorban és legfőképpen abból származik, hogy szinte kísérteties módon szokott ott megjelenni, ahol a legkevésbé számítanánk rá.

Vegyünk például egy közönséges almát – azt a gyümölcsöt, amit (valószínűleg tévesen) a tudás fájával szokás társítani, és amely fontos szerepet kap az ember isteni kegyelemből való kiesésének történetében –, és vágjuk ketté. Azt fogjuk látni, hogy az alma magjai ötágú csillag, azaz pentagramma alakzatban helyezkednek el (3. ábra).‍⁵ A csillag ágait alkotó egyenlő szárú háromszögek mindegyike rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy hosszabb oldalainak a rövidebbhez (a képzeletbeli alaphoz) viszonyított aránya pontosan megegyezik az aranymetszés arányszámával, azaz 1,618… De hiszen, gondolhatnák önök, ez talán nem is annyira meglepő. Tekintve, hogy az aranymetszés arányszámát geometriai arányként határoztuk meg, nem kell túlságosan csodálkoznunk azon, hogy megtalálható egyes geometriai alakzatokban.

3. ábra

Ez azonban csupán a jéghegy csúcsa. A buddhista hagyomány szerint Buddha egyik beszéde valójában nem is beszéd volt, hiszen a mester ez alkalommal egy szót sem szólt, csak felmutatott a hallgatóságának egy szál virágot. Mit taníthat nekünk egy virág? A rózsát például gyakran alkalmazzák a természetes szimmetria, a harmónia, a szeretet és a törékenység jelképeként. The Religion of Man (Az ember vallása) című könyvében így ír Rabindranáth Tagore (1861–1941) indiai költő és filozófus: „Valahogy azt érezzük, hogy a rózsán át a szívünkbe jutott a szeretet nyelve.” Tegyük fel, hogy valahogyan számszerűsíteni akarjuk a rózsa szimmetrikus megjelenését. Vegyünk egy rózsát, és szedjük ízekre, hogy átlássuk, hogyan fedik át a szirmok az alattuk lévőket. Ahogy az 5. fejezetben majd kifejtem, azt fogjuk észrevenni, hogy a szirmok olyan matematikai szabályszerűség szerint helyezkednek el, amely az aranyarányon alapul.

4. ábra

Lépjünk át az állatvilágba. Mindnyájunk számára ismerős egyes puhatestűek, például a pompás csigáspolip (Nautilus pompilius, 4. ábra) gyönyörű, spirális háza. A hindu mitológia táncoló Sivája is egy nautiluszt tart az egyik kezében a teremtést útjára indító eszközök szimbólumaként. Számtalan építészeti alkotást is ihlettek ezek a házak. Frank Lloyd Wright (1869–1959) amerikai építész például a csigáspolip házának szerkezete alapján tervezte meg a New York‑i Guggenheim Múzeumot. A múzeum látogatói spirális rámpán emelkednek felfelé, és miközben képzeleti kapacitásukat eltelítik a látott műalkotások, úgy haladnak előre, ahogy a puhatestű építi tovább kamránként a házát, amikor fizikailag kitölti azt. Az 5. fejezetben meg fogjuk érteni, hogy a spirális nautíluszház kialakítása szintén olyan mintázatot követ, amelyet az aranyarány ural… … …

Ajánlott olvasmányok

Csak sekélyes emberek nem ítélnek azután, amit látnak. A világ igazi titokzatossága az, ami látható, nem az, ami láthatatlan.‍⁴⁷

Oscar Wilde (1854–1900)

Az itt felsorolt könyvek és cikkek többsége nem a szakirodalomhoz tartozik. A mégis oda tartozókat valamilyen különleges jellemzőjük alapján válogattam be.

1. Előjáték egy számhoz

Ackermann, F.: The Golden Section. Mathematical Monthly, 2 (1895) 260–264.

Dunlap, R. A.: The Golden Ratio and Fibonacci Numbers. World Scientific, Singapore, 1997.

Fowler, D. H.: A Generalization of the Golden Section. The Fibonacci Quarterly, 20 (1982) 146–158.

Gardner, M.: The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles & Diversions. University of Chicago Press, Chicago, 1987.

Ghyka, M.: The Geometry of Art and Life. Dover Publications, New York, 1977.

Grattan-Guinness, I.: The Norton History of the Mathematical Sciences. W. W. Norton & Company, New York, 1997.

Herz-Fischler, R.: A Mathematical History of the Golden Number. Dover Publications, Mineola, NY, 1998.

Hoffer, W.: A Magic Ratio Occurs Throughout Art and Nature. Smithsonian, December 1975, 110–120.

Hoggatt, V. E., Jr.: Number Theory. The Fibonacci Sequence. In Yearbook of Science and the Future. Encyclopaedia Britannica, Chicago, 1977, 178–191.

Huntley, H. E.: The Divine Proportion. Dover Publications, New York, 1970.

Markowski, G.: Misconceptions about the Golden Ratio. College Mathematics Journal, 23 (1992) 2–19.

Ohm, M.: Die reine Elementar-Mathematik. Jonas Veilags-Buchhandlung, Berlin, 1835.

Runion, G. E.: The Golden Section. Dale Seymour Publications, Palo Alto, 1990.

2. A hangok és a pentagramma

Barrow, J. D.: Pi in the Sky. Little, Brown and Company, Boston, 1992.

Beckmann, P.: A 𝜋 története. Ford. Gerner József. Typotex, Budapest, 2022.

Boulger, W.: Pythagoras Meets Fibonacci. Mathematics Teacher, 82 (1989) 277–282.

Boyer, C. B.: A History of Mathematics. John Wiley & Sons, New York, 1991.

Burkert, W.: Lore and Science in Ancient Pythagoreanism. Harvard University Press, Cambridge, MA, 1972.

Conway, J. H. – Guy, R. K.: The Book of Numbers. Copernicus, New York, 1996.

Dantzig, T.: Number. The Language of Science. The Free Press, New York, 1954.

de la Fuÿe, A.: Le Pentagramme Pythagoricien, Sa Diffusion, Son Emploi dans le Syllaboire Cuneiform. Geuthner, Paris, 1934.

Guthrie, K. S.: The Pythagorean Sourcebook and Library. Phanes Press, Grand Rapids, MI, 1988.

Ifrah, G.: The Universal History of Numbers. John Wiley & Sons, New York, 2000.

Maor, E.: e: The Story of a Number. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1994.

Paulos, J. A.: Számvakság. Ford. Pataki János. HVG Könyvek, Budapest, 2004.

Pickover, C. A.: Wonders of Numbers. Oxford University Press, Oxford, 2001.

Schimmel, A.: The Mystery of Numbers. Oxford University Press, Oxford, 1994.

Schmandt-Besserat, D.: The Earliest Precursor of Writing. Scientific American, June 1978, 38–47.

Schmandt-Besserat, D.: Reckoning Before Writing. Archaeology, 32–33 (1979) 22–31.

Singh, S.: A nagy Fermat-sejtés. Ford. Pappné Kovács Katalin. Park Kiadó, Budapest, 2016.

Stanley, T.: Pythagoras. The Philosophical Research Society, Los Angeles, 1970.

Strohmeier, J. – Westbrook, P.: Divine Harmony. Berkeley Hills Books, Berkeley, CA, 1999.

Turnbull, H. W.: The Great Mathematicians. Barnes & Noble, New York, 1993.

von Fritz, K.: The Discovery of Incommensurability of Hipposus of Metapontum. Annals of Mathematics, 46 (1945) 242–264.

Wells, D.: Curious and Interesting Numbers. Penguin Books, London, 1986.

Wells, D.: Curious and Interesting Mathematics. Penguin Books, London, 1997.

3. Piramis verjen csillagos eget?

Beard, R. S.: The Fibonacci Drawing Board Design of the Great Pyramid of Gizeh. The Fibonacci Quarterly, 6 (1968) 85–87.

Burton, D. M.: The History of Mathematics. An Introduction. Allyn and Bacon, Boston, 1985.

Doczi, Gy.: The Power of Limits. Shambhala, Boston, 1981.

Fischler, R.: Théories Mathématiques de la Grande Pyramide. Crux Mathematicorum, 4 (1978) 122–129.

Fischler, R.: What Did Herodotus Really Say? Or How to Build (a Theory of) the Great Pyramid. Environment and Planning B, 6 (1979) 89–93.

Gardner, M.: Fads and Fallacies in the Name of Science. Dover Publications, New York, 1957.

Gazalé, M. J.: Gnomon. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1999.

Gillings, R. J.: Mathematics in the Time of the Pharaohs. Dover Publications, New York, 1972.

Goff, B.: Symbols of Prehistoric Mesopotamia. Yale University Press, New Haven, CT, 1963.

Hedian, H.: The Golden Section and the Artist. The Fibonacci Quarterly, 14 (1976) 406–418.

Lawlor, R.: Sacred Geometry. Thames and Hudson, London, 1982.

Mendelssohn, K.: The Riddle of the Pyramids. Praeger Publishers, New York, 1974.

Petrie, W.: The Pyramids and Temples of Gizeh. Field and Tuer, London, 1883.

Piazzi Smyth, C.: The Great Pyramid. Gramercy Books, New York, 1978.

Schneider, M. S.: A Beginner’s Guide to Constructing the Universe. Harper Perennial, New York, 1995.

Spence, K.: Ancient Egyptian Chronology and the Astronomical Orientation of the Pyramids. Nature, 408 (2000) 320–324.

Stewart, I.: Counting the Pyramid Builders. Scientific American, September 1998, 98–100.

Verheyen, H. F.: The Icosahedral Design of the Great Pyramid. In Fivefold Symmetry. World Scientific, Singapore, 1992, 333–360.

Wier, S. K.: Insights from Geometry and Physics into the Construction of Egyptian Old Kingdom Pyramids. Cambridge Archaeological Journal, 6 (1996) 150–163.

4. A második kincs

Borissavlievitch, M.: The Golden Number and the Scientific Aesthetics of Architecture. Alec Tiranti, London, 1958.

Bruckman, P. S.: Constantly Mean. The Fibonacci Quarterly, 15 (1977) 236.

Coxeter, H. S. M.: A geometriák alapjai. Ford. Sztrókay Kálmán. Typotex, Budapest, 2010.

Cromwell, P. R.: Polyhedra. Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

Dixon, K.: Mathographics. Dover Publications, New York, 1987.

Ghyka, M.: L’Esthetique des proportions dans la nature et dans les arts. Gallimard, Paris, 1927.

Heath, T. (szerk.): The Thirteen Books of Euclid’s Elements. Dover Publications, New York, 1956.

Heath, T.: A History of Greek Mathematics. Dover Publications, New York, 1981.

Jowett, B. (szerk.): The Dialogues of Plato. Oxford University Press, Oxford, 1953.‍⁴⁸

Kraut, R. (szerk.) The Cambridge Companion to Plato. Cambridge University Press, Cambridge, 1992.

Lasserre, F.: The Birth of Mathematics in the Age of Plato. Hutchinson, London, 1964.

Pappas, T.: The Joy of Mathematics. Wide World Publishing, San Carlos, CA, 1989.

Trachtenberg, M. – Hyman, I.: Architecture. From Prehistory to Post Modernism / The Western Tradition. Harry N. Abrams, New York, 1986.

Zeising, A.: Der goldene Schnitt. Druck von E. Blochmann & Son in Dresden, Halle, 1884.

5. A jóindulatú fia

Adler, I. – Barabe, D. – Jean, R. V.: A History of the Study of Phyllotaxis. Annals of Botany, 80 (1997) 231–244.

Basin, S. L.: The Fibonacci Sequence as It Appears in Nature. The Fibonacci Quarterly, 1 (1963) 53–64.

Brousseau, A., Brother: An Introduction to Fibonacci Discovery. The Fibonacci Association, Aurora, SD, 1965.

Bruckman, P. S.: Constantly Mean. The Fibonacci Quarterly, 15 (1977) 236.

Cook, T. A.: The Curves of Life. Dover Publications, New York, 1979.

Coxeter, H. S. M.: The Golden Section, Phyllotaxis, and Wythoff’s Game. Scripta Mathematica, 19 (1953) 135–143.

Coxeter, H. S. M.: A geometriák alapjai. Ford. Sztrókay Kálmán. Typotex, Budapest, 2010.

Devlin, K.: Matematika. Ford. Csaba Ferenc. Műszaki/Typotex, Budapest, 2012.

Douady, S. – Couder, Y.: Phyllotaxis as a Physical Self-Organized Process. Physical Review Letters, 68 (1992) 2098–2101.

Dunlap, R. A.: The Golden Ratio and Fibonacci Numbers. World Scientific, Singapore, 1997.

Fibonacci, L. P.: The Book of Squares. Academic Press, Orlando, FL, 1987.

The Fibonacci Numbers. Time, April 4, 1969, 49–50.

Gardner, M.: The Multiple Fascination of the Fibonacci Sequence. Scientific American, March 1969, 116–120.

Gardner, M.: Mathematical Circus. Alfred A. Knopf, New York, 1979.

Garland, T. H.: Fascinating Fibonaccis. Dale Seymour Publications, White Plains, NY, 1987.

Gies, J. – Gies, F.: Leonard of Pisa and the New Mathematics of the Middle Ages. Thomas Y. Crowell Company, New York, 1969.

Hoggatt, V. E., Jr.: Number Theory. The Fibonacci Sequence. In Yearbook of Science and the Future. Encyclopaedia Britannica, Chicago, 1977, 178–191.

Hoggatt, V. E., Jr. – Bicknell-Johnson, M.: Reflections across Two and Three Glass Plates. The Fibonacci Quarterly, 17 (1979) 118–142.

Horadam, A. F.: Eight Hundred Years Young. The Australian Mathematics Teacher, 31 (1975) 123–134.

Jean, R. V.: Mathematical Approach to Pattern and Form in Plant Growth. John Wiley & Sons, New York, 1984.

Pickover, C. A.: Keys to Infinity. John Wiley & Sons, New York, 1995.

Rivier, N. – Occelli, R. – Pantaloni, J. – Lissowdki, A.: Structure of Binard Convection Cells, Phyllotaxis and Crystallography in Cylindrical Symmetry. Journal Physique, 45 (1984) 49–63.

Singh, P.: The So-Called Fibonacci Numbers in Ancient and Medieval India. Historia Mathematica, 12 (1985) 229–244.

Smith, D. E.: History of Mathematics. Dover Publications, New York, 1958.

Stewart, I.: Fibonacci Forgeries. Scientific American, May 1995, 102–105.

Stewart, I.: Life’s Other Secret. John Wiley & Sons, New York, 1998.

Thompson, D. W.: On Growth and Form. Dover Publications, New York, 1992.

Vajda, S.: Fibonacci & Lucas Numbers, and the Golden Section. Ellis Horwood Limited, Chichester, 1989.

Vorob’ev, N. N.: Fibonacci Numbers. Blaisdell, New York, 1961.

6. Az isteni arány

Arasse, D.: Leonardo. Ford. Marsó Paula és Nemes Krisztina. Typotex, Budapest, 2016.

Beer, A. – Beer, P. (szerk.): eds. Kepler. Four Hundred Years. Pergamon Press, New York, 1975.

Calvesi, M.: Piero Della Francesca. Rizzoli, New York, 1998.

Caspar, M.: Kepler. Dover Publications, New York, 1993.

Cromwell, P. R.: Polyhedra. Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

Gingerich, O.: Kepler, Johannes. In Charles Coulston Gillespie ed.: Dictionary of Scientific Biography. Vol. 7. Scribners, New York, 1973, 289–312.

Gingerich, O.: Kepler, Galilei, and the Harmony of the World. In V. Coeltho ed.: Music and Science in the Age of Galileo. Kluwer, Dordrecht, 1992, 45–63.

Ginzburg, C.: The Enigma of Piero. Verso, London, 2000.

James, J.: The Music of the Spheres. Copernicus, New York, 1993.

Jardine, N.: The Birth of History and Philosophy of Science. Kepler’s “A Defense of Tycho against Ursus” with Essays on Its Provenance and Significance. Cambridge University Press, Cambridge, 1984.

Kepler, J.: Mysterium Cosmographicum. Abaris Books, New York, 1981.

Kepler, J.: The Harmony of the World. American Philosophical Society, Philadelphia, 1997.

Leonardo Da Vinci. Artabras / Reynal and Company, NY, 1938.

MacKinnon, N.: The Portrait of Fra Luca Pacioli. Mathematical Gazette, 77 (1993) 130–219.

Martens, R.: Kepler’s Philosophy and the New Astronomy. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2000.

Pacioli, L.: Divine Proportion. Librairie du Compagnonnage, Paris, 1988.

Pauli, W.: The Influence of Archetypal Ideas on the Scientific Theories of Kepler. In The Interpretation of Nature and the Psyche. Parthenon, New York, 1955, 147–240.

Stephenson, B.: The Music of the Spheres. Kepler’s Harmonic Astronomy. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1994.

Strieder, P.: Albrecht Dürer. Abaris Books, New York, 1982.

Taylor, R. E.: No Royal Road. University of North Carolina Press, Chapel Hill, 1942.

Voelkel, J. R.: Johannes Kepler. Oxford University Press, Oxford, 1999.

Westman, R. A.: The Astronomer’s Role in the Sixteenth Century. A Preliminary Survey. History of Science, 18 (1980) 105–147.

7. Festő és költő bármit kiagyalhat

Altschuler, E. L.: Bachanalia. Little, Brown and Company, Boston,1994.

d’Arcais, F. F.: Giotto. Abbeville Press Publishers, New York, 1995.

Bellosi, L.: Cimabue. Abbeville Press Publishers, New York, 1998.

Bergamini, D.: Mathematics. Time Incorporated, New York, 1963.

Bois, Y.-A. – Joosten, J. – Rudenstine, A. Z. – Janssen, H.: Piet Mondrian. Little, Brown and Company, Boston, 1995.

Boring, E. G.: A History of Experimental Psychology. Appleton-Century-Crofts, New York, 1957.

Bouleau, C.: The Painter’s Secret Geometry. Harcourt, Brace & World, New York, 1963.

Curchin, L. – Fischler, R.: Hero of Alexandria’s Numerical Treatment of Division in Extreme and Mean Ratio and Its Implications. Phoenix, 35 (1981) 129–133.

Curtis, W. J. R.: Le Corbusier. Ideas and Forms. Phaidon, Oxford, 1986.

Duckworth, G. E.: Structural Patterns and Proportions in Vergil’s Aeneid. University of Michigan Press, Ann Arbor, 1962.

Emmer, M.: The Visual Mind. MIT Press, Cambridge, MA, 1993.

Fancher, R. E.: Pioneers of Psychology. W. W. Norton & Company, New York, 1990.

Fechner, G. T.: Vorschule der Aesthetik. Breitkopf & Härtel, Leipzig, 1876.

Fischler, R.: How to Find the ‘Golden Number’ without Really Trying. The Fibonacci Quarterly, 19 (1981) 406–410.

Fischler, R.: The Early Relationship of Le Corbusier to the Golden Number. Environment and Planning B, 6 (1979) 95–103.

Fischler, R.: On the Application of the Golden Ratio in the Visual Arts. Leonardo, 14 (1981) 31–32.

Godkewitsch, M.: The Golden Section. An Artifact of Stimulus Range and Measure of Preference. American Journal of Psychology, 87 (1974) 269–277.

Hambidge, J.: The Elements of Dynamic Symmetry. Dover Publications, New York, 1967.

Herz-Fischler, R.: An Examination of Claims Concerning Seurat and the Golden Number. Gazette des Beaux-Arts, 125 (1983) 109–112.

Herz-Fischler, R.: Le Corbusier’s ‘Regulating Lines’ for the Villa at Garches (1927) and Other Early Works. Journal of the Society of Architectural Historians, 43 (1984) 53–59.

Herz-Fischler, R.: Le Nombre d’or en France de 1896 à 1927. Revue de l’Art, 118 (1997) 9–16.

Hockney, D.: Titkos tudás. Ford. Beck András. Officina’96, Budapest, 2003.

Howat, R.: Debussy in Proportion. Cambridge University Press, Cambridge, 1983.

Kepes, G.: Module, Proportion, Symmetry, Rhythm. George Braziller, New York, 1966.

Larson, P.: The Golden Section in the Earliest Notated Western Music. The Fibonacci Quarterly, 16 (1978) 513–515.

Le Corbusier.: Modulor I and II. Harvard University Press, Cambridge, MA, 1980.

Lendvai, E.: Béla Bartók. An Analysis of His Music. Kahn & Averill, London, 1971.

Lowman, E. A.: Some Striking Proportions in the Music of Béla Bartók. The Fibonacci Quarterly, 9 (1971) 527–537.

Marevna: Life with the Painters of La Ruche. Macmillan Publishing Co., New York, 1974.

McManus, I. C.: The Aesthetics of Simple Figures. British Journal of Psychology, 71 (1980) 505–524.

Nims, J. F.: Western Wind. McGraw-Hill, New York, 1992.

Nuland, S. B.: Leonardo da Vinci. Viking, New York, 2000.

Osborne, H. (szerk.): The Oxford Companion to Art. Oxford University Press, Oxford, 1970.

Putz, J. F.: The Golden Section and the Piano Sonatas of Mozart. Mathematics Magazine, 68 (1995) 275–282.

Sadie, S.: The New Grove Dictionary of Music and Musicians. Grove, New York, 2001.

Schiffman, H. R. – Bobka, D. J.: Preference in Linear Partitioning. The Golden Section Reexamined. Perception & Psychophysics, 24 (1978) 102–103.

Schillinger, J.: The Mathematical Basis of the Arts. Philosophical Library, New York, 1948.

Schillinger, F.: Joseph Schillinger. Da Capo Press, New York, 1976.

Schwarz, L.: The Art Historian’s Computer. Scientific American, April 1995, 106–111.

Somfai, L.: Béla Bartók. Compositions, Concepts, and Autograph Sources. University of California Press, Berkeley, 1996.

Svensson, L. T.: Note on the Golden Section. Scandinavian Journal of Psychology, 18 (1977) 79–80.

Tatlow, R. – Griffiths, P.: Numbers and Music. In The New Grove Dictionary of Music and Musicians, 18 (2001) 231–236.

Watson, R. I.: The Great Psychologists. J. B. Lippincott Company, Philadelphia, 1978.

White, M.: Leonardo the First Scientist. Little, Brown and Company, London, 2000.

Woodworth, R. S. – Schlosberg, H.: Experimental Psychology. Holt, Rinehart and Winston, New York, 1965.

Zusne, L.: Visual Perception of Form. Academic Press, New York, 1970.

8. A kőpadlótól a mennyekig

Cohen, J. – Stewart, I.: The Collapse of Chaos. Discovering Simplicity in a Complex World. Penguin Books, New York, 1995.

Fischer, R.: Financial Applications and Strategies for Traders. John Wiley & Sons, New York, 1993.

Gardner, M.: Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers. W. H. Freeman and Company, New York, 1989.

Gleick, J.: Káosz. Ford. Szegedi Péter. Gönczöl, Budapest, 2004.

Lesmoir-Gordon, N. – Rood, W. – Edney, R.: Introducing Fractal Geometry. Icon Books, Cambridge, 2000.

Mandelbrot, B. B.: Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman and Company, New York, 1988.

Mandelbrot, B. B.: A Multifractal Walk Down Wall Street. Scientific American, February 1999, 70–73.

Matthews, R.: The Power of One. New Scientist, July 10, 1999, 27–30.

Peitgen, H.-O. – Jürgens, H. – Saupe, D.: Chaos and Fractals. Springer-Verlag, New York, 1992.

Peterson, I.: The Mathematical Tourist. W. H. Freeman and Company, New York, 1988.

Peterson, I.: A Quasicrystal Construction Kit. Science News, 155 (1999) 60–61.

Peterson, I.: Fibonacci at Random. Science News, 155 (1999) 376–377.

Prechter, R. R., Jr. – Frost, A. J.: Elliot Wave Principle. New Classics Library, Gainesville, GA, 1978.

Schroeder, M.: Fractals, Chaos, Power Laws. W. H. Freeman and Company, New York, 1991.

Steinhardt, P. J. – Jeong, H.-C. – Saitoh, K. – Tanaka, M. – Abe, E. – Tsai, A. P.: Experimental Verification of the Quasi-Unit-Cell Model of Quasicrystal Structure. Nature, 396 (1998) 55–57.

Stewart, I.: Does God Play Dice? Penguin Books, London, 1997.

Walser, H.: The Golden Section. The Mathematical Association of America, Washington, DC, 2001.

9. Isten matematikus?

Baierlein, R.: Newton to Einstein. The Trail of Light. Cambridge University Press, Cambridge, 1992.

Barrow, J. D.: Impossibility. Oxford University Press, Oxford, 1998.

Chandrasekhar, S.: Truth and Beauty. University of Chicago Press, Chicago, 1987.

Chown, M.: Principia Mathematica III. New Scientist, August 25, 2001, 44–47.

Davis, P. J. – Hersh, R.: The Mathematical Experience. Houghton Mifflin Company, Boston, 1998.

Dehaene, S.: A számérzék. Ford. Szűcs Dénes. Osiris, Budapest, 2003.

Deutsch, D.: The Fabric of Reality. Penguin Books, New York, 1997.

Hersh, R.: What Is Mathematics, Really? Oxford University Press, New York, 1997.

Hill, T. P.: The First Digit Phenomenon. American Scientist, 86 (1998) 358–363.

Kleene, S. C.: Foundations of Mathematics. In Encyclopaedia Britannica. Chicago, 1971, 1097–1103.

Lakatos, I.: Mathematics, Science and Epistemology. Cambridge University Press, Cambridge, 1978.

Lakoff, G. – Núñez, R.: Where Mathematics Comes From. Basic Books, New York, 2000.

Livio, M.: The Accelerating Universe. John Wiley & Sons, New York, 2000.

Maor, E.: To Infinity and Beyond. A Cultural History of the Infinite. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1987.

Matthews, R.: The Power of One. New Scientist, July 10, 1999, 26–30.

Penrose, R.: Shadows of the Mind. Oxford University Press, Oxford, 1994.

Penrose, R.: A császár új elméje. Ford. Gálfi László. Akadémiai, Budapest, 2011.

Pickover, C. A.: The Loom of God. Perseus Books, Cambridge, MA, 1997.

Popper, K. R. – Eccles, J. C.: The Self and Its Brain. Springer International, New York, 1977.

Raimi, R.: The Peculiar Distribution of the First Digit. Scientific American, December 1969, 109–119.

Robinson, A.: From a Formalist’s Point of View. Dialectica, 23 (1969) 45–49.

Russell, B.: Human Knowledge. Its Scope and Its Limits. Simon and Schuster, New York, 1948.

Russell, B.: A nyugati filozófia története. Ford. Kovács Mihály. Göncöl, Budapest, 2004.

Wolfram, S.: A New Kind of Science. Wolfram Media, Champaign, IL, 2002.

Jegyzetek

1 Trencsényi-Waldapfel Imre fordítása.

2 A fenti kifejezésekkel egyaránt a 𝜑‑re, azaz egy arányszámra utalunk. A magyarban bevettnek számító „aranymetszés” kifejezést – ez szűkebb értelemben egy geometriai szerkesztést jelent, amelynek arányszáma a 𝜑 – az alábbiakban csak akkor alkalmazzuk, ha ezt a kontextus megengedi, vagyis amikor például szűkebben művészi alkotások, épületek, festmények ilyen arány szerinti szerkesztéséről van szó. Ehelyett főként vagy az eredeti műben is leggyakrabban előforduló „aranyarány” (golden ratio) szót, vagy az „aranymetszés arányszáma” kifejezést, illetve magát a 𝜑 szimbólumot fogjuk használni – a szerk.

3 Elemek. Mayer Gyula fordítása.

4 A kifejezés magyar nyelven először feltehetőleg Greguss Ágost (1825–1882) Rendszeres széptan című posztumusz, 1888-ban megjelent művében fordult elő – a ford.

5 A valóságból vett példákban természetesen nem pontosak a méréseink, itt például az almamagok mérete, kiterjedése nem nulla (mint elméletben a ponté), és az elhelyezkedésük sem szabályos – az ráadásul minden alma esetén más és más lehet. Így az almamagok elhelyezkedése nem szabályos csillagötszög: az aranyarány, amely érvényes a szabályos csillagötszögben, az almamagok példájában csak megközelítőleg jelenik meg – a lekt.

47 Dorian Gray arcképe. Kosztolányi Dezső fordítása.

48 Teljes Platón-kiadás magyarul: Platón összes művei. Európa, Budapest, 1984. A Timaiosz a III. kötetben található. A további hivatkozott dialógusok közül – a korábbi fordítás átdolgozásával és új jegyzetanyaggal – az Állam és a Törvények megjelent az Atlantisz új Platón-sorozatában, az előbbi 2018-ban Steiger Kornél, az utóbbi 2008-ban Bolonyai Gábor fordításában.

Typotex Kiadó
Alapította Votisky Zsuzsa, 1989
A kiadó az 1795-ben alapított Magyar Könyvkiadók és Könyvterjesztők Egyesületének tagja.

Kedves Olvasó!
Köszönjük, hogy kínálatunkból választott olvasnivalót! Újabb kiadványainkról, akcióinkról a typotex.hu és a facebook.com/typotexkiado oldalakon értesülhet.

ISBN 978 963 493 365 6
ISSN 3004-2208

Felhasznált betűtípusok:
Noto Sans & Serif – SIL OFL

www.interkonyv.hu