részlet

CORVINA

Fordította

Szegedi Péter

Copyright © Tomoko L. Kitagawa & Timothy Revell, 2023

First published as THE SECRET LIVES OF NUMBERS in 2023 by Viking, an imprint of Penguin General. Penguin General is part of the Penguin Random House group of companies

A fordítás az alábbi kiadás alapján készült:

Kate Kitagawa, Timothy Revell: The Secret Lives of Numbers: A Hidden History of Math’s Unsung Trailblazers

HarperCollins Publishers, New York, 2024

Hungarian translation © Szegedi Péter, 2024

Borítóterv: Karcagi Klára

Tartalom

Előjáték

1. A kezdet kezdetén

A Babilon folyói mentén

Egy tekercs a hóna alatt

2. A teknős és a császár

Rudak (és áldások) számlálása

Galaxis útikalauz hexagramokkal

Kilenc fejezet, amely megváltoztatta a világot

Egyáltalán, mi az a bizonyítás?

Intelmek nőknek

A lázadó mértanosok bandája

3. Egy Alex nevű város

Az ismeretlen Eukleidész

Alexandria, a nagyszerű

Hüpatia, a tanár

Visszatekintve

4. Az időszámítás hajnala

Kozmikus naptárak

Naponta egy istenség

Az órák megjelenése

Az időről

5. A nulla eredete(i)

India aranykora

Miért nem esünk le a Földről?

A lyukas szám

Zéróból hős

6. A Bölcsesség Háza

Számítások a kalifa számára

Algebra, algoritmus, al-Hvárizmi

Mi az az algoritmus?

Az égi forgás

A Ház felgyújtása

7. A lehetetlen álom

Egy szerencsejátékos becsvágya

Valami, amiről írni kell

Száműzve, de nem kirekesztve

8. A kalkulus (első) úttörői

Egy iskola az indiai Keralában

Mi az a kalkulus?

Leibniz matematikai gépet készít

Az óánglius szarkazmus

A döntés

9. Newtonianizmus hölgyeknek

Newtonianizmus: bevezetés kezdőknek

Laposföld-imádók

Mi a newtonianizmus franciául?

Kísérletezés otthon

Túl sok fantázia

Amerikába jön

10. Egy nagyszabású szintézis

Egy fogyatkozással fogyatkozva

Nyugat találkozik Kelettel

Három világ legjobbika

11. A matematikai hableány

Egy kicsit liberálisabb

Egyenletek a falon

Párban produktívak

Találkozás a hableánnyal

Profivá válás

Nagydíj

12. Forradalmak

Eukleidész vírusként terjed

Amikor párhuzamos vonalak találkoznak

Alapvető sebességkorlátozás

A világegyetem egyenletei

13. =

Polgárjogok

Oktatás mindenkinek

Hogyan nyerjünk a párbajban?

14. A csillagok feltérképezése

Nézzünk fel!

A Harvard számítógépei

Még néhány fénykép

A világűrért folytatott verseny

15. Számháború

A Hardy–Littlewood néven ismert matematikus

Matematika egyenesen Istentől

Az együttműködésből káosz születik

Alapvető tételek és problémák

A Skewes-féle szám

Utószó

A matematika egy váltófutás

Még megoldásra váró problémák

Köszönetnyilvánítás

További olvasmányok

Név- és tárgymutató

Jegyzetek

Előjáték

Az elnök emberei című amerikai politikai televíziós sorozat egyik jelenetében két, magas rangú kormányzati tanácsadó gyanakvóan bámul a képernyőn lévő diára. Térképészek egy csoportja próbálja elmagyarázni, hogy a világ térképe, az a térkép, amelyet egész életükben ismertek, és amelyben egész életükben bíztak, csak egy a sok közül. És hibás. „Azt mondják, hogy a térkép rossz?” – kérdezi hitetlenkedve az egyik tanácsadó.

A bolygó egyetlen térképe sem pontos: ez matematikailag egyszerűen nem lehetséges. Egy gömb felszínét nem lehet torzítás nélkül kétdimenziós ábrává alakítani. Ráadásul, ahogy a térképészek elmagyarázzák, a térkép, amelyet néznek, egy Európa-centrikus világképet hirdet. Európa nagyobbnak tűnik, mint Dél-Amerika, pedig Dél-Amerika valójában kétszer akkora. Németország a térkép közepén helyezkedik el, holott ténylegesen a Föld legészakibb negyedében van. A világról alkotott képünk mindvégig torz volt.

A térképet Gerardus Mercator flamand térképész rajzolta a tizenhatodik században. Eredetileg az óceánokat átszelő tengerészeknek szánták, nem pedig a geopolitikát tanulmányozó politikusoknak. Nemzedékről nemzedékre öröklődött, megszilárdítva helyét az uralkodó térképként, világszerte azt a benyomást keltve az emberekben, hogy így néz ki a világ, nem pedig azt, hogy ez csak egy nézőpont.

A Mercator-vetület

A matematika története is hasonló. Annak ellenére, hogy a matematika az alapvető igazságok, a rideg, kemény számítások és a megdönthetetlen bizonyítások tanulmányozásának hírében áll, valójában nem kerülte el az igazságot és a tudást alakító befolyásos személyeket és struktúrákat. Távolról sem: a matematika évezredekre kiterjedő története igazából előítéleteket is felhalmozott – attól kezdve, ahogyan bizonyos matematikákat és matematikusokat tisztelnek, egészen a matematika eredetéről szóló históriákig. Itt az ideje, hogy felülvizsgáljuk, és újra elmeséljük ezt a történetet.

Amikor mi, Kate és Timothy először találkoztunk, hogy megbeszéljük a közös könyvprojektet, nem gondoltuk, hogy ez hová fog vezetni. A londoni Charing Cross egyik könyvesboltjában teát kortyolgatva beszélgettünk a matematika iránti közös szeretetünkről, és megegyeztünk abban, hogy meg kellene írnunk a téma közérthető történetét. Kate matematikatörténészi szakértelmére és Timothy matematikai és újságírói gyakorlatára támaszkodva úgy gondoltuk, hogy ez egyszerű lesz.

Tévedtünk. Minél jobban beleástuk magunkat a matematika történetébe, annál többet fedeztünk fel arról, hogy hogyan torzították el azt. És annál inkább úgy éreztük, hogy tennünk kell valamit ez ellen.

A matematika története csodálatosan változatos. Az ötletek nem egy helyen bukkantak fel, és gyakran különféle variációik jelentek meg a történelem során. Ez jól mutatja, hogy az embernek a gondolkodásra való hajlama mennyire erős. Az eszmék nem vesznek tudomást az országhatárokról, így a matematika gyakran a kereskedelemmel és a kulturális cserékkel együtt terjedt egyik helyről a másikra. A matematika fejlődése azonban nem egyenes vonalú. Ment előre és hátra, ugrált a bolygó körül, letért az útról, elkalandozott, és néha zsákutcába torkollott. Ettől pedig sokkal gazdagabb lett. Bár a logikus fejlődéséről híres, valójában a matematika sokkal kaotikusabb dolog.

A matematika történetét azonban általában nem így mesélik el. Az ókori görögöket, mint a modern matematika megteremtőit, állítják piedesztálra, pedig ami a globális tudásunkba beépült, annak nagy része sok más helyről is származik, többek között az ókori Kínából, Indiából és az Arab-félszigetről. Az a feltételezés, miszerint az európai módszer a felsőbbrendű, nem a matematikából ered – ez a nyugati imperializmus évszázadaiból származik –, de beszivárgott a matematikába is. Az ókori Görögországon kívüli matematikát gyakran „etnomatematika”-ként félretették, mintha az egy teljesen különálló tárgykör lenne, a valódi történelem mellékszála.

Miközben kidolgoztuk utunkat a matematika több ezer éves történelmén át, szinte minden, amiről azt hittük, hogy tudjuk, így vagy úgy, de megkérdőjeleződött. Egyes jól ismert történetekről kiderült, hogy tévhitek, mások pedig teljes kitalációk. Sok matematikust és matematikát tévesen zártak ki a történelemből. A következő oldalakon feltárunk néhányat abból, hogyan torzították el a matematika történetét. A valódi történet tényleg egy globális vállalkozásé. A matematika az ötletekről szól, és arról, hogy hogyan lehet azokat végiggondolni a következményekig. A gondolkodás sokfélesége nemcsak fontos a matematikában, hanem alapvető jelentőségű.

Vegyük a kalkulust (vagy más néven differenciál- és integrálszámítást, még más néven infinitezimális számítást, vagy általánosabban matematikai analízist). Ez a – dolgok időbeli változásának leírására szolgáló – matematikai elmélet az emberi történelem egyik legfontosabb és leghasznosabb vívmánya. Elengedhetetlen a mérnöki tudományokban – nélküle nem tudnánk hidakat vagy rakétákat építeni –, és szinte minden tudományágban használják, hogy segítsen jobban megérteni a világot. A mai életünk számos eleme nem lenne lehetséges nélküle.

Na és kié az érdem? A szokásos történet szerint Isaac Newton, egy angol és Gottfried Wilhelm Leibniz, egy német matematikus, egymástól függetlenül, nagyjából egy időben, a tizenhetedik században fejlesztették ki a kalkulus egy-egy változatát. Ez nagyrészt igaz, de csak ezt tudni olyan, mintha Mercator térképét néznénk – egy torz szemlélet. A kalkulus mögötti gondolatokra sokkal korábban is volt igény.

A tizennegyedik században az indiai Kerala egyik iskolája a matematikusok olvasztótégelye volt. Alapítója, Szangamagrámi Mádhava (Mādhava of Sangamagrāma1) briliáns matematikus volt, és eredményei között szerepel a kalkulus egy elméletének leírása. Megtalálta a kalkulust lehetővé tevő kulcsfontosságú ötleteket, amelyeket aztán a keralai iskola egymást követő matematikusai tovább csiszoltak. Ez az elmélet nem volt sem teljes, sem tökéletes, de ez mindig így van a valami újjal. Az első villanykörték közül a tervezésük hibái miatt sok túl gyorsan kiégett, és az üvegük is megfeketedett, de Thomas Edisont még mindig elismerik az ebben a tizenkilencedik századi találmányban játszott szerepéért. Itt az ideje, hogy Mádhavát is elismerjük!

Bármely matematikatörténetben az eszmék állnak az előtérben, de nem lehet őket elválasztani azoktól az emberektől, akiknek a fejében megszülettek. A matematika történetének valódi bemutatásához meg kell vizsgálnunk a matematikusok történetét is. Az ebben a könyvben bemutatottak közül néhányan nemcsak lenyűgöző matematikusok voltak, hanem falakat is ledöntöttek, hogy segítsenek a matematikát befogadóbb és globálisabb tárgyként kezelni. Nagyobb hangsúlyt fektetünk ezekre az elfeledett matematikusokra, és elmagyarázzuk, hogyan illeszkednek a hagyományos történetbe, valamint kijavítjuk a róluk szóló tévhiteket és félreértelmezéseket. Azokat a fontos embereket, akik nem illettek bele a matematikusról alkotott elképzelésekbe, nemcsak életükben nyomták el, hanem azóta is folyamatos támadások érik a történészek és kommentátorok részéről.

Vegyük Szofja Vasziljevna Kovalevszkaját,2 aki 1850-ben, közvetlenül a krími háború előtt született Moszkvában. Élete során állandóan lebeszélték és eltiltották a matematikától. Apja megtagadta tőle a megfelelő oktatást, mert úgy vélte, hogy ha lánya egy tanult nő lenne, akkor szégyent hozna rá. Az ehhez hasonló nézetek akkoriban gyakoriak voltak. Ennek ellenére matematikával foglalkozott, és munkája kiváló volt ahhoz, hogy doktori címet szerezhessen. Mégis a neme miatt sok egyetem nem engedte, hogy letegye a doktori vizsgát.

Hatalmas elszántsággal végül sikerült elnyernie egy állást a Stockholmi Egyetemen, és ő lett a világ első női matematikaprofesszora. Professzori állásában fizetést még ekkor sem kapott – a túléléshez személyesen kellett pénzt gyűjtenie a diákjaitól. Egyesek nem örültek annak, hogy egyáltalán ilyen pozíciót szerzett. A híres drámaíró, August Strindberg ezt írta egy helyi újságban: „A női professzor egy ártalmas és kellemetlen jelenség – sőt, mondhatni, szörnyeteg.”3

Halála után Kovalevszkaja örökségét néhány életrajzíró eltorzította; életének tényei helyett túl gyakran támaszkodtak nemi sztereotípiákra. Kivételes matematikus volt, mégis egyfajta femme fatale-ként mutatták be, aki a külsejére és a bájára hagyatkozott az előrehaladásban, annak ellenére, hogy erre bármi bizonyíték is lenne. Itt az ideje, hogy véget vessünk a Kovalevszkajához hasonló történetek beszennyezésének.

***

Úgy gondoljuk, hogy a matematika történetének ez az újbóli elbeszélése fontos, de reméljük, hogy ennél több is lesz. A matematika évezredek óta tele van lenyűgöző karakterekkel. Egy olyan tárgykör, amely az igazságot, a gyönyörű gondolkodásmódokat és olyan tételeket keres, amelyektől elszáll az agyad. Nem szenvedély nélküli, hanem kreatív erőfeszítés. Ahogy Kovalevszkaja mondta egyszer: „Ez egy olyan tudomány, amely rengeteg képzelőerőt igényel.”4 A matematika története a legnagyobb kaliberű kihagyhatatlan saga.

Egyetlen könyv nem tud minden rosszat helyrehozni, vagy egy valóban teljes történetet elmesélni, de ahogyan egy új térkép megváltoztathatja a világról alkotott képünket, úgy egy új történelem is képes ugyanerre. A mi könyvünkben a matematika történetét úgy meséljük el, amilyen valójában – gyönyörűen kaotikus együttműködés. A mai matematika a világ minden tájáról származó fogalmak lenyűgöző összeolvadása, amelynek úttörője a matematikai határokat feszegetők egy csoportja volt, olyan embereké, akik figyelmen kívül hagyták a társadalom által fajuk, nemük és nemzetiségük miatt rájuk kényszerített korlátokat. A matematika gazdag és sokszínű történelemmel rendelkező tárgykör. Itt az ideje, hogy elmeséljük.

1.
A kezdet kezdetén

Az Ishango-csont
(elölről és hátulról)

A mi fajunk, a Homo sapiens, már 300 000 éve létezik, de amennyire meg tudjuk állapítani, a matematika viszonylag új keletű találmány. Sok lelet elveszett, vagy egyszerűen nem maradt fenn, így csak részleges képet kapunk. 20 000 évvel ezelőtt jelennek meg az emberi matematikai tevékenység első nyomai, számlálást jelentő rovások formájában az állatcsontokon.

Ezek közül az egyik legrégebbi és leghíresebb az Ishango-csont, amelyet a mai Uganda és a Kongói Demokratikus Köztársaság határán találtak, és i. e. 20 000–18 000-ből származik. A csont valószínűleg egy pávián szárkapocscsontja, bár származhat farkastól vagy hasonló méretű állattól is. A tetejéhez egy kvarcdarab van rögzítve, ami arra utal, hogy szerszámként használhatták. A csont hosszában három oszlop fut végig, amelyeken számlálást mutató rovások vannak. A karcolások talán egyszerűen a szerszám megragadására szolgálnak, de ennél többről is szó lehet.

Az első oszlopban 48 jel van, a második és harmadik oszlopban pedig 60. Az oszlopok mindegyike különálló szegmensekre tagolódik; a harmadik oszlop felosztása a legérdekesebb. A hatvan rovás itt egy-egy 11-es, 13-as, 17-es és 19-es csoportból áll. Ezek prímszámok – olyan számok, amelyek csak 1-gyel és önmagukkal oszthatók. A prímszámok kétségtelenül a matematika legfontosabb számai közé tartoznak. Amint azt a későbbi matematikusok felfedezik, ezek a számok az összes többi szám építőkövei. Ha itt látjuk őket egy több mint 20 évezreddel ezelőtti faragványon, az olyan, mintha üzenetet kaptunk volna egy földönkívülitől. Felemelő és meglepő – ugyanakkor nehéz pontosan tudni, hogy mit jelent.

A matematikai minták lehetnek véletlenek, de mutathatják őskori elődeink számtani kifinomultságát is. A 48-as és a 60-as szám 4×12, illetve 5×12, ami arra utal, hogy a karcolások készítőinek számrendszere a 12-es szám köré épült (és nem a 10-esre, mint manapság). Az egyik legkorábbi számrendszer, amelyről tudunk, a 60-as szám köré épült, tehát ez egyáltalán nem valószínűtlen. Egy másik lehetőség, hogy a csont egy hat hónapos holdnaptár volt, ahol a rovátkák a holdfázisokat jelképezték. Egy másik, a huszadik századi matematikus, Claudia Zaslavsky által felvetett lehetőség szerint a csontot egy nő használhatta a menstruációs ciklusa nyomon követésére. Az évszakok eljövetelének és elmúlásának nyomon követése a növényi magok elültetése céljából, vagy akár a folyók áradási idejének rögzítése szintén észszerű lehetőségnek tűnik. Hasonló csontokat találtak Afrika más részein és máshol is. Úgy tűnik, hogy a számolás több tízezer éven át az emberi lét szerves részét képezi.

A matematika legkorábbi fennmaradt jelei nagyjából olyanok, mint az Ishango-csont. Az ilyen leletek mutathatnak egy óriási fogalmi ugrást a fajunk részéről, egy pillanatot, amikor elkezdtünk matematikai absztrakciókban gondolkodni – vagy egyszerűen csak karcolásokról van szó. Az ősi műemlékek és kerámiák maradványain gyakran találunk bonyolult geometriai mintákat, de vajon ez azt jelenti, hogy a készítők értették a matematikát az ábrák mögött, vagy csak egyszerűen tetszettek nekik ezek a minták?

A fajunk által kifejlesztett legkorábbi matematikát talán nem írták le, és nem is hagyott fizikai nyomokat. Későbbi bizonyítékok azt mutatják, hogy a matematika mély megértése pusztán a beszéd révén is kialakulhatott. A nyugat-afrikai akan népnek például kifinomult matematikai eszköztára volt a súlyok és mértékek kezelésére, amelyet szájhagyomány útján adtak tovább. Matematikai rendszerük szóbeli jellege tökéletessé tette azt az arab és európai kereskedőkkel való üzleteléshez a tizenötödik század és a tizenkilencedik század vége között. Ez azonban azt is jelentette, hogy az atlanti rabszolga-kereskedelem évszázadokon át tartó működése miatt ez a rendszer elpusztult. Miután a kutatóknak a múzeumokban őrzött néhány megmaradt tárgyi emlék segítségével 2019-ben sikerült rekonstruálniuk a rendszer működését, azt javasolták, hogy az kapjon UNESCO világörökségi státuszt, mert annyira lenyűgöző volt.

Ebben az esetben a rendszer egészen a közelmúltig használatban volt, és néhány tárgyi emlék még mindig létezik, de valószínűleg sok más szóbeli matematikai rendszer is létezett, amelyek mára elvesztek az idők folyamán. A számolás és annak következményei valószínűleg szerves részét képezték sok olyan közösségnek és civilizációnak, amelyeknek soha nem volt szükségük arra, hogy bármi ilyesmit leírjanak. Vagy ha mégis, akkor ennek minden nyoma eltűnt mára. A matematikának ezek az első pillanatai homályosak, és örökre azok is maradnak. Az írott nyelv megjelenésével és a világ néhány legnagyobb civilizációjának felemelkedésével azonban egy kicsit tisztábbá válik a kép.

A Babilon folyói mentén

A Tigris és az Eufrátesz folyók között egy olyan termékeny földterület húzódik, amely számos nagy ókori civilizációnak adott otthont. A folyók külön-külön a mai Törökország területén erednek, majd a mai Irak, Szíria és Irán térségein kanyarognak, mielőtt a Perzsa-öbölbe ömlenének. Együtt természetes határát képezik annak a területnek, amelyet egykor Mezopotámia néven ismertek.

Időszámításunk előtt 3000-től a sumér civilizáció virágzott itt. A sumérok bonyolult városokat építettek hatalmas öntözőrendszerekkel. Az egyik legkorábbi jogrendszerrel is rendelkeztek, bíróságokkal, börtönökkel és kormányzati nyilvántartásokkal. Kifejlesztették a legkorábbi ismert írásrendszert, az ékírást – amely szükséges volt a nyilvántartásokhoz – és ráadásul egy számolási rendszert is. Még postai szolgáltatást is létesítettek.

A következő ezer év során az akkádok váltak a térség domináns erejévé. Magukkal hozták a saját technológiájukat, beleértve az abakuszt – egy általuk feltalált eszközt. (Ez kissé másképp működött, mint a későbbi változatok, például a kínai.) Végül birodalmuk elbukott, és két különálló akkád nyelvű csoportot hagyott maga után: az asszírokat északon és a babilóniaiakat délen. Mindkettő hatalmas civilizációt hozott létre a maga nemében, de a matematika tanulmányozása a délieknél gyorsult fel igazán.

Mezopotámia a mai Irak és Szíria területének egy részét foglalta magában. Babilónia egy akkád nyelvű állam volt, amely Mezopotámia középső-déli területén feküdt, Babilon fővárossal

A mai Bagdadtól nagyjából 100 kilométerre délre fekvő Babilon volt a babilóniai birodalom fővárosa. Hammurapi király irányítása alatt, aki i. e. 1792 és 1750 között uralkodott, Babilónia olyan hatalommá vált, amellyel számolni kellett. Számos városállamot irányított a térségben, ami Babilóniát rendkívül gazdaggá és hatalmassá tette. Ez biztosította a matematikai közösség fejlődéséhez és virágzásához szükséges stabilitást és forrásokat.

A ma is fennmaradt agyagtáblák kiterjedt gyűjteménye számos részletet rögzít a korabeli Babilóniáról. Az írástudók kihegyezett pálcával karcolták a feljegyezni kívánt dolgokat a nedves agyagba, majd hagyták a napon megkeményedni. Ezek a táblák a babilóniaiak számára azt jelentették, amit ma a papír és a táblázatok jelentenek számunkra – a nyilvántartások alapvető eszközeit. Ezek rögzítették Hammurapi jogrendszerét, amelyet Hammurapi „törvénykönyve”-ként ismerünk; ez 282 írott törvényből állt, és az egyik legkorábbi példát tartalmazta az ártatlanság vélelmére (mindenki ártatlan, amíg bűnössége be nem bizonyosodik – bár az, hogy mennyire voltál bűnös, attól függött, hogy vagyonos, szabad vagy rabszolga voltál-e). Emellett feljegyezték az ügyleteket, történeteket meséltek, beleértve a teremtésről szóló mítoszokat is, és híreket továbbítottak.

Az egyik fennmaradt tábla lényegében egy reklamáció. Az i. e. 1750 körül íródott, és egy Nanni nevű elégedetlen vásárlótól származik, aki egy Éa-nászir nevű kereskedőtől akart rézrudakat vásárolni. Amikor azonban a rézrudak megérkeztek, azok nem voltak Nanni ízlésének megfelelőek. Panaszlevelében azt írta, hogy elégedetlen a rézzel, és hogy az ügylet lebonyolítása során az eladó udvariatlan volt a szolgájával. A kritika bevésése és kiégetése egy olyan formába, amely évezredekig fennmarad, bemutatja a fogyasztói hatalmat a maga teljességében.5

A babilóniaiak számos gyakorlati célra használták a matematikát, többek között a földterületek felosztására és az adók kiszámítására. Néhány agyagtáblaíró feljegyezte a bevételeket és a költségvetést, és így megismerkedett a számokkal. Sajnos nem írták alá a nevüket, így ebből a korból szinte semmit sem tudunk az egyes matematikusokról. Néhányan azonban minden bizonnyal rendszeresen tanulmányozták a matematikát olyan témakörökben, mint az algebra, és felfedezték a háromszögekről szóló híres tételt, amelyet ma általában Pitagorasz-tételnek hívnak (pedig Püthagorasz jóval később élt). A kettő négyzetgyökét is megközelítették hat tizedesjegy pontossággal.

Az akkori számrendszer a suméroktól származott, és a 60-as számra épült. Ebből a rendszerből ered az a szokásunk, hogy a köröket 360 fokra, az órákat pedig 60 percre osztjuk. Az alábbiakban az ékírásos szimbólumokat láthatjuk, amelyeket a számok jelölésére használtak 1-től 59-ig:

Babiloni ékírásos számjegyek

A babiloni a miénkhez hasonlóan helyi értékes számrendszer volt, ami azt jelenti, hogy a számok sorrendje elárul valamit az általuk képviselt mennyiségekről. Amikor például a 271-es számot írjuk, akkor ez azzal a hallgatólagos megegyezéssel történik, hogy a jobb szélső szám egy egyest jelent, majd balra haladva hét tízesünk és két százasunk van. Vagy számokban

271 = (2×102) + (7×101) + (1×100)

Hasonlóképpen, a babilóniaiak a 60-as hatványok ábrázolására használták a helyi értékeket, így a 271-et a következőképpen lehetett kifejezni

271 = (4×601) × (31×600)

Vagy ékírással

A babiloni számrendszer abban különbözik leginkább a miénktől, hogy nem volt nullája – a valódi nulla (zéró) csak jóval később jelenik meg. Ez azt jelentette, hogy a babilóniaiaknak gyakran a szövegkörnyezetből kellett kitalálniuk egy szám nagyságát. Ha például a 42 ékírásos szimbólumát látták, akkor meg kellett állapítaniuk, hogy ez vajon 42-t vagy 42×601-t vagy talán 42×602-t, esetleg 42601-t, netalán 42 602-t jelent, hogy csak néhányat említsünk a lehetőségek közül. Bár ez néha tévedésekhez vezetett, nem olyan észszerűtlen, mint amilyennek elsőre tűnik. Ha azt hallotta valakitől, hogy egy ház „300” egy bizonyos pénznemben és országban, akkor valószínűleg ki tudta találni, hogy ez 300, 300 000, 300 millió vagy több.

A 60-as számrendszer kezdetben bonyolultnak tűnhet a 10-eshez képest, de a babilóniaiaknak matematikai előnyt jelentett. A 60-as szám egy kiváló, erősen összetett szám, ami azt jelenti, hogy sok tényezője van – osztható az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 és 60 számokkal. Ez megkönnyíti a munkát vele, különösen a törtek írásakor.

Emlékezzünk arra, hogy ahogy a helyi értékek a tizedesvesszőtől balra haladva egyeseket, tízeseket, százasokat stb. jelentenek, úgy a tizedesvesszőtől jobbra haladva tizedeket, századokat, ezredeket stb. kapunk. Mondjuk a 0,347-es szám valójában a következők rövidítése

Most vegyük az törtet. Tizedesjegyekkel ez a következőképpen írható fel

Annyira hozzászoktunk, hogy az egyharmadot ilyen tizedesjegyekben írjuk fel, hogy ez a végtelen ismétlés normálisnak tűnik, holott ez a számrendszerünk egyik furcsasága. Abból a tényből ered, hogy a 10 nem osztható 3-mal. A 60 viszont igen. Az egyharmad ugyanaz, mint a , ami azt jelenti, hogy a hatvanas számrendszerben egyszerűen 0,20-nak írható, vagy másképpen:

Mivel a 60 egy kiváló, erősen összetett szám, több törtet lehet szépen kifejezni a 60-as számrendszerben, mint a 10-esben.

A babiloni közelítése.

A hatvanas számrendszerben: 1 24 51 10. Tizedesjegyekben: körülbelül 1,414213

Ez idő tájt az ókori egyiptomiak is hasonlóan fejlődtek. Körülbelül i. e. 3000-től az ottani emberek a 10-es számrendszer részeként sajátos szimbólumokkal jelölték a különböző számokat. Egyetlen vonal az 1-es számot, két vonal a 2-es számot, és így tovább, egészen a 9-es számig. A 10, 100, 1000 stb. számok számára külön hieroglifákat használtak, ahogyan a törtekre is. Egy adott szám leírásához az ókori egyiptomiak egyszerűen felsorolták a hieroglifák megfelelő kombinációját.

Ennek nagy része a Rhind-papiruszon6 található, egy Ahmes nevű írnok által írt kéziratban. Ez a legrégebbi fennmaradt matematikai tankönyv, amelyről tudomásunk van, és a következő rendkívüli bevezetéssel nyit: „Pontos számolás. Belépő minden létező dolog és minden homályos titok megismeréséhez.”7 Ahmes a kéziratot i. e. 1550 körül írta, és azt állítja, hogy i. e. 2000 körüli szövegeket használt fel az összeállításához. Azt, hogy a benne található matematika legalább négyezer éves lehet, nehéz teljes mértékben felfogni, különösen, ha figyelembe vesszük, hogy a benne foglaltak nagy része hasonlít a ma ismert matematikára.

A tankönyv nyolcvannégy matematikai feladatot és azok megoldási módjait tartalmazza. A feladatok közül hat egy piramis meredekségének – a magasságából és a szélességéből történő – kiszámításáról szól a trigonometriához hasonló ötletek segítségével. A matematikát az azt kifejlesztő emberek alakítják, így nem meglepő, hogy az egyiptomi matematikusokat a piramisok matematikája érdekelte, amikor a fáraók annyira megszállottan építették azokat. De a matematikai eszmék egyetemesek is. Sok más kultúra egymástól függetlenül fedezte fel a trigonometria matematikáját, az ókori Kínától a reneszánsz Európáig, csak más motivációval. A papiruszon osztó- és szorzótáblák, valamint a térfogat- és területszámítás magyarázatai is szerepelnek. A számelmélet (aritmetika), az algebra és a geometria mai fogalmai és elképzelései közül sok megjelenik valamilyen formában.

Van némi átfedés a Rhind-papiruszon és a babiloni táblákon szereplő gondolatok között. A két civilizáció eltérő számrendszerrel, hiedelmekkel és kultúrával rendelkezett, mégis mindkettő hasonló matematikai igazságokat fedezett fel. Általában úgy gondolják, hogy ez nem valamilyen aktív csere eredménye volt, hanem pusztán annak köszönhető, hogy egymástól függetlenül fedeztek fel néhány alapvető matematikai elképzelést.

Egy tekercs a hóna alatt

Az Atlanti-óceán túlpartján nagyjából ugyanebben az időben egy másik civilizáció a matematikának egy másfajta, a csillagászatból eredő felfogását fejlesztette ki. A maja civilizáció i. e. 2600 körül kezdődött. Nem egyetlen birodalom volt, hanem inkább független uralkodók csoportja, akik a mai Mexikó és Honduras területén lévő városállamokat irányították, amelyeknek közös volt a kultúrájuk, mitológiájuk és naptáruk. A templomokat a Nap, a Hold és a bolygók mozgásához igazodva építették, a városok pedig egyre hatalmasabbak lettek. A mai Guatemala északi részén fekvő Tikalnak – a feltételezések szerint – mintegy ötvenezer lakosa és háromezer különálló épülete volt, a palotáktól és szentélyektől kezdve a házakon, tereken át a víztározókig. Gazdasági és szertartási központ volt, kiterjedt kereskedelmet folytatott olyan értékes árukkal, mint a jáde, a quetzal madár tolla és a kakaó. A maják más civilizációkhoz hasonlóan kifinomult öntözőrendszerekkel rendelkeztek terményeik táplálására. Kifejlesztettek egy olyan ivóvíztisztító rendszert is, amelyben zeolit ásványokat alkalmaztak, amelyet még ma is használnak.

A matematikusok elég fontosak és híresek voltak ahhoz, hogy falfestményeken jelenjenek meg, a hónuk alatt lévő tekercsekkel. Ezeket a matematikusokat a maja kultúra bizonyos szerencsés adottságai segítették. Egyrészt, bár a maják számos különböző helyi nyelvet beszéltek, csak egyetlen írásrendszer létezett, amely a szótagokat hieroglifákkal, a számokat pedig az istenek arcképeivel jelölte (l. később a képen). A legtöbb ember írástudatlan volt, de az írástudók a beszélt nyelvtől függetlenül tudtak kommunikálni a fügefa belső kérgéből készült papírra hieroglifikusan írt könyvek segítségével.

A maják rendelkeztek egy másik számrendszerrel is, amely kevésbé dekoratív és praktikusabb volt. Két szimbólumot használt: a pontot és a vonalat. A pont 1-et, a vonal pedig 5-öt jelentett. Ahelyett, hogy 10 vagy 60 köré épült volna, a maja számrendszer a 20-as számon alapult.

Sajnos e számrendszer pontos működésének megértése némi találgatással jár. Amikor a spanyol hódítók a tizenhatodik században megszállták Mezo-Amerikát, még sok maja fügefakéreg-könyv létezett, de a katolikus papok úgy vélték, hogy ezek az „ördög hazugságait” tartalmazzák, ezért sokukat elégették.

Ennek ellenére tudjuk, hogy a maják nagyszerűen használták számrendszereiket. A maja matematikusok egyik központi szerepe a csillagászkodás lehetett. Az ő feladatuk az volt, hogy segítsenek megtervezni a szent rituálékat, hogy azok összhangban legyenek az égi eseményekkel. A maják egyszerű, de működőképes csillagvizsgálókat építettek, hogy megjósolják az évszakok váltakozását és azt, hogy mikor lenne a legjobb elvetni a növények magvait. Bár később építették, a mai Mexikó területén lévő Chichén Itzában található Csiga (Caracol) csillagvizsgáló számos ablakából tökéletesen lehetett látni a fontos csillagászati eseményeket, például a tavaszi napéjegyenlőségkor bekövetkező naplementét.

A maja civilizáció. A terület a mai Mexikó, Guatemala, Belize, Honduras és Salvador egyes részein fekszik

A maja írnokok – Naptárak Háza néven ismert – szobájának maradványai megmutatják, hogyan tartották számon adataikat a csillagászok. Az i. e. kilencedik század elejéről származó falat és mennyezetet színes festmények díszítik, köztük számos emberi alak, valamint számok és írásjelek. A falat valószínűleg táblaként használták. Színesen díszített hieroglifák vannak rajta, amelyeket naptári és csillagászati számításokhoz használtak. Két számítási táblázat nyomai a Hold, illetve valószínűleg a Mars és a Vénusz mozgását mutatják.

A legtöbb maja matematikus-csillagász a papi osztályból származott, és nagy tiszteletnek örvendett. Képesek voltak pontosan megjósolni a napfogyatkozásokat, és még a Vénusz nyolcévente ismétlődő furcsa égi mozgását is sikerült megjósolniuk, ami nem lehetett könnyű, részben azért, mert a Nap időnként megakadályozza az észlelését. A Vénuszt a Nap kísérőjének tekintették, ezért a Chak Ek’, azaz a Hatalmas Csillag nevet adták neki.

A maják hihetetlenül pontos méréseket végeztek a Hold és a csillagok mozgásával kapcsolatban: például kiszámították, hogy 149 holdhónap 4400 napig tart; a mi jelölésünkben ez 29,5302 napos holdhónapot eredményez, ma pedig 29,5306 nappal számolunk. Hasonlóképpen, az év hosszát 365,242 napra becsülték; ma ezt 365,242198 napban adjuk meg.

A majákat az a vágy hajtotta, hogy jobban megértsék az éjszakai égboltot és annak a Földre gyakorolt hatását, ezért törekedtek a matematika kifejlesztésére. Úgy vélték, hogy a csillagászat elsajátításával sikeresek lesznek a mezőgazdaságban. Hasonló mechanizmus hajtotta a matematika fejlődésének egy másik időszakát a világ egy más részén, amely legalább olyan korán kezdődött, mint a matematika fejlődése Babilóniában, és évezredeken át tartott. Kínában a matematika messze túlmutatott az esőkön és a terméseken, az uralkodói hatalomról és az égiek akaratáról is szólt.

A fejváltozatú számjegyek

Maja számjegyek és egy összeadási példa (6 + 8 = 14)

Kiadja 2024-ben a Corvina Kiadó Kft., az 1795-ben alapított Magyar Könyvkiadók és Könyvterjesztők Egyesülésének tagja.

1086 Budapest, Dankó utca 4–8.

corvina@lira.hu

www.corvinakiado.hu

Felelős kiadó: Király Levente, a Corvina igazgatója

Felelős szerkesztő: Benedek Enikő

Műszaki vezető: Székelyhidi Zsolt

Tördelő: Szabó Rózsa

Korrektor: Malinoczki Judit

ISBN 978 963 13 7080 5

Elektronikus változat:

eKönyv Magyarország Kft.

www.ekonyv.hu

Készítette Ambrose Montanus

Felhasznált betűtípusok

Fira Sans – SIL Open Font License

Noto Serif – Apache License 2.0

Source Serif 4 – SIL Open Font License

Vollkorn – SIL Open Font License