A véletlen matematikája
– részlet –

A könyv megjelenését a kiadói program keretében a Nemzeti Kulturális Alap, valamint a HUN-REN Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet támogatta.
A szerző a könyv megírása során a HUN-REN-BME Sztochasztika Kutatócsoport támogatásában részesült.

© Keszthelyi Gabriella, Typotex, Budapest, 2025
Engedély nélkül semmilyen formában nem másolható!
»keszthelyigabriella.com«

Lektorálta: Ráth Balázs
Az 1., 23., 24., 30., 31., 33., 41., 43. és 55. ábrát Miklós Kelemen készítette.

ISBN 978 963 493 307 6

Typotex Kiadó
Felelős kiadó: Németh Kinga
Felelős szerkesztő: Juhász Emese
Szerkesztette: Mandl Orsolya
Tördelés: Szalay Éva
Borítóterv: Tillai Tamás
Elektronikus könyv: Nagy Lajos

Tartalom

Előszó

Bevezetés

Már a görögök sem vágták

A lottót vagy megnyerem, vagy nem, az 50%, ugye?

Nagy számok törvénye kis számokra?

1. Csomósodások és illúziók

Véletlen? Nem hinném!

London bombázása

Függetlenség

Konjunktív és diszjunktív tévedések

2. Okság és indukció

Akik ruhában alszanak, azok sokkal gyakrabban ébrednek másnap reggel fejfájással

Inverz következtetések

3. Félreértések a feltételes valószínűség körül

Taxisofőr

Szia, uram, Covid-teszt érdekel?

Sztereotípiák

Kecskék mindenütt

Szűkülő eseménytér

A jóképű emberek gyökerek?

Jolán(y)

4. Okság és feltételes valószínűség

Hiábavaló a többhöz folyamodni, amikor kevesebbel is megtehetjük ugyanazt

Az idő strukturálása

Közös ok

Bayes-hálók

Az ösztrogén megvéd a baleseti haláltól?

Simpson-paradoxon

Mit is tanultunk az okságról?

5. Demográfia és életbiztosítások

A rövidáru-kereskedő és a pestis

Live fast, die young, avagy érdemes‑e még tartós tejet vennem

Hogyan árazzon egy biztosító?

A valószínűségek Keanu Reevese

6. Fair játékok, avagy miből él a Szerencsejáték Zrt.?

Az ember, akinek 14-szer volt telitalálata a lottón

Szentpétervári paradoxon

Orosz rulett: 6 játékosból 5 jó szívvel ajánlja!

Racionális játékok (?)

Szubjektív vs. objektív valószínűség

Csipkerózsika-paradoxon

7. A normális mítosza

Kísérleti filozófusok és az ipari forradalom

A tömegek tudománya

Normális vagy?

8. Statisztika

Korreláció és indukció

Konfidenciaintervallum

Szignifikáns különbség

Szignifikáns részecske

Lehet‑e fogyni az étcsokitól?

Egy döglött lazac csodás képességei

Bayesi kacsák

Statisztikai vs. tudományos következtetések

9. Modern valószínűségszámítás

Utolsó motivációk

A formalizmus győzelme

Valódi és pszeudovéletlenek

Magyar iskola

Függelék

Köszönetnyilvánítás

Jegyzetek

Végjegyzetek

Lábjegyzetek

Előszó

Ezt a könyvet részben a BME-n a villamosmérnök hallgatóknak tartott valószínűségszámítás-kurzus motiválta, részben pedig a saját élményeim az egyetemről: diákként és tanárként is az volt a tapasztalatom, hogy a valószínűségek világa ingoványos terep sok matematikus számára is, a laikusoknak pedig egyértelműen az. Sokat gondolkodtam, hogy mi lehet ennek a magyarázata, számos ismerőssel, kollégával és baráttal – matekossal és nem matekossal egyaránt – beszélgettem erről az évek folyamán. Arra jutottam, hogy az egyik ok a valószínűségszámítás eredete, ami a babonákhoz és a szerencsejátékokhoz kötődik. A másik ok, hogy az agyunk nem valószínűségek (matematikailag korrekt) felmérésére van huzalozva, hanem sokkal inkább a kockázatkezelésre: nagyobb valószínűségűnek ítélünk olyan eseményeket, illetve stratégiákat, amelyek jobban biztosítják a túlélésünket. De nagyban befolyásolja valószínűségi becsléseinket az is, hogy mennyi időnk van dönteni, illetve mennyire költséges (mennyi agymunkát igényel) az eseménnyel kapcsolatos adatok feldolgozása. Sokszor egyszerűen nincs elég időnk, vagy túl sok az információ, és heurisztikákhoz folyamodunk.

Így a könyvet főleg ez a két szempont strukturálja: egyrészt végighaladok a valószínűségszámítás történetén az ősidőktől napjainkig, mikor milyen szükségletek, alkalmazások segítették elő a fejlődését, másrészt pedig megpróbálom kideríteni, hogy milyen nehézségek gátolnak minket abban, hogy helyesen ítéljük meg bizonyos események bekövetkezésének valószínűségét. Ennek érdekében a könyvet sűrűn átszövik a paradoxonok (illetve olyan problémák, amelyek technikailag nem paradoxonok, de minden esetben józan ésszel nehezen megragadható, látszólagos ellentmondások) és kognitív torzítások (gondolkodási hibák, amelyekre különösen hajlamosak vagyunk, miközben a körülöttünk lévő tengernyi információt próbáljuk feldolgozni). Ezeket külön is listázom a könyv végén található Függelékben. Nagyon ügyeltem arra, hogy az olvasót ne terheljem túl felsőbb matematikai fogalmakkal, és a könyv tudományos ismeretterjesztő voltához híven érthető maradjon laikusok számára is. Ugyanakkor vannak benne könnyebb és nehezebb részek, bizonyos paradoxonok egész mély nyúlüregekbe vezetnek. Amennyiben valaki nem merészkedik ezek mélyére, a könyv még akkor is konzisztens marad, de én arra biztatok mindenkit, hogy kövesse és gondolja végig a magyarázatokat.

A Bevezetésben végigveszem a valószínűségek történetét az ősidőktől a reneszánszig terjedően, illetve az ebben az időben uralkodó „minden egyenlően lehetséges” hozzáállást és az ebből fakadó problémákat. A Csomósodások és illúziók című fejezetben azt járom körül, hogy események együttjárása, „csomósodása” lehet-e a véletlen műve. Az Okság és indukció című fejezetben azt vizsgálom, hogy milyen koncepciókban gondolkodhatunk valószínűségek helyett (kauzalitásban), és mi köze van ennek mégis a valószínűségekhez. Bevezetem a feltételes valószínűség fogalmát, amit tovább boncolok a Félreértések a feltételes valószínűség körülben és az Okság és feltételes valószínűségben. Utóbbiban külön kitérek az időre, hogy milyen szerepet játszik abban, hogy inkább ok-okozatban, mintsem valószínűségekben gondolkodunk. A Demográfia és életbiztosítások című fejezet főként arról szól, hogy hogyan motiválták a pestisjárványok az első népszámlálásokat, amiből az első statisztikák és az első élettartambecslések is származnak. A Fair játékok, avagy miből él a Szerencsejáték Zrt.? című fejezet a fogadások és különböző játékok birodalmába kalauzol el: a várható élettartam után a várható nyereség fogalmára is fény derül, illetve hogy mit hívunk racionális döntésnek a játékokban. A normális mítosza a leghíresebb valószínűségi eloszlás születését és mai napig tartó hatását vizsgálja. A Statisztika című fejezetben kifejtem annak történetét és határait, tudományban betöltött szerepét. Végül pedig a Modern valószínűségszámítás a terület mai állására, a matematikában és a világban elfoglalt helyére reflektál.

Bevezetés

Az embereket mindig is mélyen foglalkoztatta, hogy milyen erők dolgoznak a világban, mi mozgatja a dolgokat, és milyen jövő vár rájuk. Jelen ismereteink szerint mi vagyunk az egyetlen élőlények, akik tudják magukról, hogy meg fognak halni, ezért agyi aktivitásunk nagy részét is arra fordítjuk, hogy ezt az eseményt a lehetőségekhez mérten elodázzuk. Ugyanakkor nemcsak azt szeretnénk tudni, hogy mi és hogyan lesz (mi a sorsunk, végzetünk), hanem hogy mi és hogyan volt (mi a magyarázat a már megtörtént jelenségekre), és ezt a kettőt egy narratívában akarjuk egyesíteni. Időnk végessége rákényszerít minket arra, hogy strukturáljuk azt, jelentést adjunk neki. A narratíva egy másik fontos szükségletünket is kielégíti: a bizonytalanság és a kockázat csökkentését. Tudatosan és tudattalanul is rengeteg időt és energiát fordítunk arra, hogy mérlegeljünk, döntéseket hozzunk, aztán pedig a döntések lehetséges következményeit mérlegeljük, és újabb döntéseket hozunk. Kapcsolatunk a világgal és a benne rejlő lehetőségekkel alapvetően formálta a valószínűség fogalmát, később pedig az ellentétes folyamat is beindult: a valószínűség formálta a következtetéseinket, döntéseinket.

Pár ezer éves feljegyzett kultúránkban számtalanszor próbálkoztak ezzel az emberek a tudomány és a vallás keretein belül, de maga a folyamat nem mindig alapos átgondolás mellett zajlik. Sokszor teljesen öntudatlanul mérlegelünk lehetőségeket, vonunk le következtetéseket, vagy hozunk döntéseket. Ebben a könyvben főleg a tudomány által adott válaszokat vesszük górcső alá. Az oksági és valószínűségi magyarázatok és ezek minden arányú keveréke átszövik mindennapjainkat: tudatosan és mindenféle átgondolás nélkül is használjuk őket.

Véletlen, bizonytalan, kockázatos, valószínű, sanszos, random, várható, esélyes, szerencsés… ezek mind hasonló, mégis egy kicsit más jelentésű szavak: vannak közöttük pozitív kicsengésűek, és arra utalók, hogy egy esemény inkább bekövetkezik, mint nem (például valószínű, sanszos, esélyes), illetve negatívabbak, mint a bizonytalan, random, kockázatos. Sokszor azonban nem világos, hogy pontosan mit értünk alattuk, nem egyértelmű a használatuk. Ez persze nem csak a magyar nyelvben van így, az 1960-as években a CIA-nál dolgozó Sherman Kent egy egész protokollt fejlesztett ki az ilyen jellegű kifejezések korrekt alkalmazására:

certain (biztos) = 100%

almost certain (majdnem biztos) = 93%

probable (valószínű) = 75%

chances about even (esélyek kb. egyenlőek) = 50%

probably not (valószínűleg nem) = 30%

almost certainly not (majdnem biztosan nem) = 7%

impossible (lehetetlen) = 0%

Konvenciója végül nem épült be a mindennapokba (még a CIA-ba se), pedig használatával ma is sok félreértést el lehetne kerülni.

De nem egyszerűen a szavak megfelelő használatáról van szó: ebben a fejezetben áttekintjük a fogalom legkorábbi megjelenéseit és kialakulásának körülményeit, amelyeket többnyire a végzettel, a bizonytalansággal és a szerencsével asszociáltak. A valószínűség jelentésének alakulása a mai napig hat arra, hogy mi hogyan érzékeljük azt.

Ahogy azt Pierre Redmont megfogalmazta:

„Az emberek […] hajlamosak egy végzetes és vakon működő erőt társítani a jóhoz, a rosszhoz és általában minden történéshez ebben a világban. Azt hiszik, hogy Fortunát le kell kenyerezniük, hogy kedvezzen nekik; ezért én úgy gondolom, hogy mindenkinek (nem csak a szerencsejátékosoknak) hasznos lenne tudnia, hogy a valószínűségeknek vannak szabályaik, és ezek a szabályok megismerhetők. Ismeretük hiánya hibákhoz vezet, amelyek miatt nem a sors, hanem saját maguk okolható.”‍¹

Már a görögök sem vágták

A valószínűség fogalma kivételesen nem az ókori görögöktől származik. A probabilitas (valószínűség) szó etimológiája a latin probabilis → probabilitatem (hihető, plauzibilis, jóváhagyható, megbízható), aminek a töve probo, ebből származik a próba szavunk is. Egy vélemény hihetőségét, igazolhatóságát jelentette, hogy kiállja-e a próbát. Bár a görögöknek is létezett rá szavuk: eikos (εικος), ami azt jelentette, hogy „várható, bizonyos fokú bizonyossággal”, ők sokkal jobban szerették az abszolút igazságot, ami az ő definíciójuk szerint logikával, dedukcióval bizonyítható axiómákból. A platonisták szerint a matematikai fogalmak önálló létezéssel bírnak, és e fogalmak analízisével ismerhetőek meg. A valószínűségi érvelést lenézték a korai filozófiában: Arisztotelész a Phaidónban panaszkodik azokra a filozófusokra, akik „[…] bár hihetően beszélnek, […] nem azt mondják, ami igaz”.‍² Szókratész szerint pedig egy matematikus, aki valószínűségekkel érvel, geometriában nem ér semmit.

A „véletlen” ősidők óta a szerencsejátékokkal és a jövendőmondással, illetve az istenek szeszélyeivel fonódott össze, nem éppen elősegítve a valószínűség tudományos előmenetelét. A görögöknek volt szerencseistennőjük is: Tükhé (τύχη). Ő volt a szerencsejátékosok patrónája (római verziója: Fortuna), akivel a többi istenség sem mert vitába szállni. De Tükhé színre lépését megelőzte egy még ősibb mítosz: a három testvér, Zeusz, Poszeidón és Hadész sorsot vetett, hogy eldöntsék, ki mit fog uralni a világban – így kapta Zeusz az eget, Poszeidón a vizeket és Hadész az alvilágot.

Létezik még egy görög szó, amit a véletlen szinonimájaként használunk, ez pedig a sztochasztikus. A στόχος jelentése „célzás, találgatás”, de a stochastic szó először 1662-ben bukkant fel az Oxford University Press szótárában „találgatással, feltételezéssel kapcsolatos” jelentésben.‍³ Valójában a valószínűség-elmélethez nagyjából semmi nem állt készen az ókori görögök idejében, legalábbis Európában. Vannak, akik szerint a hinduk már rendelkeztek a megfelelő tudással: Arisztotelész idejében (Kr. e. a 4. században) íródott a Mahábhárata című eposz, amely többek között taglalja Nala király kalandjait.‍⁴

A leírás szerint Nala megszállott szerencsejátékos volt, aki a királyságát is elveszítette kockán. Ezután elszegődött szekérhajtónak Rituparna királyhoz, aki „birtokolta a kocka tudományát”, és egy fa egyetlen ága alapján meg tudta becsülni, hány levél és hány gyümölcs terem rajta. Nalát is megtanította erre, aki az újdonsült tudással felvértezve hazatért, és visszanyerte kockán a birodalmát.

A mítosz arra enged következtetni, hogy a hinduknak már megvolt az elégséges aritmetikai és kombinatorikai hátterük ahhoz, hogy matematikai fogalmi keretek között gondolkodhassanak valószínűségekről. Tőlük vették át az arabok, Európába pedig olasz matematikusokon keresztül érkezett meg… … …

Köszönetnyilvánítás

Ez a könyv még teljesen kezdeti formájában sok volt tanítványom kezében megfordult, akik előtesztelték, és számos ötletet adtak nekem, lelkesedésük nagy segítséget jelentett az elindulásban. Köszönöm a segítséget Kampis Györgynek, Tuboly Ádámnak, Baranyi Máténak, Kói Tamásnak és Ferenci Tamásnak, akik rengeteg hasznos megjegyzéssel szolgáltak. Köszönettel tartozom Molnár Gyulának, aki szisztematikusan átnézett számos részt, és sokat segített az egyes részek érthetőbbé tételében. Hálás vagyok lektoromnak, Ráth Balázsnak, aki rendkívül lelkiismeretesen olvasta át a kéziratot, és segített a jobbá tételében. A könyv a Rényi Intézet és annak igazgatója, Stipsicz András égisze alatt készült. Nagyon hálás vagyok családomnak és barátaimnak, akik a vártnál jóval hosszabb folyamat ellenére is végig hittek bennem, nélkülük nem jöhetett volna létre ez a könyv.

Hivatkozások

A jegyzetekben található hivatkozások URL-jeit rövidítettük és külső hivatkozásként élesítettük. Utolsó ellenőrzés dátuma: 2026.04.08.

Végjegyzetek

Bevezetés

1 Idézi F. N. David: Games, Gods and Gambling. A History of Probability and Statistical Ideas. Hafner Publishing Company, 1962. 143.

2 Platón: Phaidón. Ford. Hamvas Endre Ádám. Helikon, Budapest, 2022.

3 »en.wikipedia.org«

4 Ian Hacking: The Emergence of Probability. Cambridge University Press, Cambridge, 2006.

Typotex Kiadó
Alapította Votisky Zsuzsa, 1989
A kiadó az 1795-ben alapított Magyar Könyvkiadók
és Könyvterjesztők Egyesületének tagja.

Kedves Olvasó!
Köszönjük, hogy kínálatunkból választott olvasnivalót! Újabb kiadványainkról, akcióinkról a typotex.hu és a facebook.com/typotexkiado oldalakon értesülhet.

ISBN 978 963 493 307 6

Felhasznált betűtípusok:
Noto Serif, Roboto – SIL OFL

www.interkonyv.hu