Douglas R. Hofstadter

Egybefont Gondolatok Birodalma

Metaforikus fúga elmékre és gépekre,
Lewis Carroll szellemében

Fordította

Lipovszki Gábor

A mű eredeti címe: Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid

© Douglas R. Hofstadter, 1979, 2025

This edition is published by arrangement with Basic Books, an imprint of Perseus Books, LLC, a subsidiary of Hachette Book Group, Inc., New York, NY, USA. All rights reserved.

Hungarian translation © Lipovszki Gábor, 1998, 2025

Második, javított kiadás

A Rákkánont, az Egy dohányos épületes gondolatai című Bach-verset, a Rák dalát és a forthi hídról szóló limericket fordította: Király László

Az ábrákat újrarajzolta: Debre Ferenc

Első kiadás: Typotex, Budapest, 1998

Szerkesztette:

Bakcsi György

Felelős kiadó Halmos Ádám

Felelős szerkesztő Nádor Zsófia

Szerkesztő Szabó Mihály István

Olvasószerkesztő Csémi Judit

Borítóterv Visnyai Zoltán

Műszaki szerkesztő Kovács Balázs Sándor

Elektronikus változat
Békyné Kiss Adrien

ISBN 978-963-572-556-4

A.-nak és A.-nak

Tartalom

Áttekintés

Illusztrációk jegyzéke

Köszönő szavak

Előszó a GEB húszéves, jubileumi kiadásához

I. rész – GEB

Bevezetés – Zeneo-logikai áldozat

Háromszólamú invenció

I. fejezet – Az MU-rejtvény

Kétszólamú invenció

II. fejezet – A matematikai jelentés és forma

Szonáta szóló-Akhilleuszra

III. fejezet – Alak és háttér

Contracrostipunctus

IV. fejezet – Következetesség, teljesség és geometria

Kis harmóniai labirintus

V. fejezet – Rekurzív szerkezetek és eljárások

Kánon intervallumnöveléssel

VI. fejezet – A jelentés helye

Kromatikus fantázia és fúrás

VII. fejezet – Az ítéletkalkulus

Rákkánon

VIII. fejezet – Tipográfiai Számelmélet

MU-áldozat

IX. fejezet – Mumon és Gödel

II. rész – EGB

Prelúdium…

X. fejezet – Leírási szintek és számítógéprendszerek

…Hangyafúga

XI. fejezet – Agyak és gondolatok

Angol–francia–német–magyar szvit

XII. fejezet – Elmék és gondolatok

Ária különféle változatokkal

XIII. fejezet – KcikluS, FcikluS és FFcikluS

Air G-re

XIV. fejezet – A TSZ és a hozzá hasonló rendszerek formálisan eldönthetetlen állításairól

Születésnapi kantátatata…

XV. fejezet – Kiugrás a rendszerből

Egy dohányos épületes gondolatai

XVI. fejezet – Önhiv és önrep

Magnifirák dé(l)ben

XVII. fejezet – Church, Turing, Tarski és mások

SHRDLU az én örömem

XVIII. fejezet – Mesterséges intelligencia: visszatekintés

Contrafactus

XIX. fejezet – Mesterséges intelligencia: kilátások

Lajhárkánon

XX. fejezet – Furcsa hurkok, avagy kusza hierarchiák

Hatszólamú ricercar

Jegyzetek

Irodalomjegyzék

Források

Áttekintés

I. rész: GEB

Bevezetés: Zeneo-logikai áldozat. A könyvet Bach Zenei áldozat című művének története nyitja. Bach rögtönözve meglátogatta Nagy Frigyes porosz királyt, amikor is a király azt kérte, hogy Bach rögtönözzön az általa megadott témára. Bach improvizációi alkották ennek a nagy műnek az alapját. A Zenei áldozat és annak története egy olyan témát alkot, melyre a könyvben véges-végig improvizálok, ennek révén egyfajta „Metazenei áldozat” jön létre. Az önhivatkozás és a különféle bachi szintek közötti összjáték tárgyalása közvetlenül az Escher-rajzok és a Gödel-Tétel párhuzamos gondolatainak tárgyalásához vezet. A Gödel-Tétel hátterét a logika és a paradoxonok történetének rövid áttekintése adja. Innen a következtetés gépesítéséhez és a számítógépekhez jutunk, valamint ahhoz a vitához, hogy vajon lehetséges-e a mesterséges intelligencia. A fejezet a könyv eredetének – ezen belül a párbeszédek hogyanjának és mikéntjének – magyarázatával zárul.

Háromszólamú invenció. Bach tizenöt háromszólamú invenciót írt. Ebben a háromszereplős (háromszólamú) párbeszédben Zénón „kitalálja” a Teknőst és Akhilleuszt – a párbeszédek képzeletbeli ellenlábasait (mint ahogy a valóságban is kitalálta őket a Zénón-féle mozgási paradoxonok szemléltetésére). A párbeszéd nagyon rövid, csak a további párbeszédek alaphangulatát érzékelteti.

I. fejezet: Az MU-rejtvény. Egy egyszerű formális rendszer (az MIU-rendszer) bemutatása után egy rejtvény révén ismerkedhet meg az Olvasó a formális rendszerekkel általában. Számos alapfogalmat vezetünk be: karakterlánc, tétel, axióma, levezetési szabály, levezetés, formális rendszer, döntési eljárás, a rendszeren belüli/kívüli munka.

Kétszólamú invenció. Bach tizenöt kétszólamú invenciót is írt. Ezt a kétszereplős (kétszólamú) invenciót nem én írtam, hanem Lewis Carroll 1895-ben. Carroll Zénóntól kölcsönözte Akhilleuszt és a Teknőst, én pedig Carrolltól kölcsönöztem őket. A téma az, hogy mi a kapcsolat a következtetés, a következtetésről szóló következtetés, a következtetésről szóló következtetésről szóló következtetés stb. között. Ez a paradoxon bizonyos értelemben a mozgás lehetetlenségét állító Zénón-féle paradoxon párja, mivel végtelen regresszió révén látszólag megmutatja, hogy a következtetés lehetetlen. Erre a szép paradoxonra a könyvben később többször is hivatkozunk.

II. fejezet: A matematikai jelentés és forma. Egy új formális rendszer (a pg-rendszer) bemutatása, amely még az I. fejezetben szereplő MIU-rendszernél is egyszerűbb. Bár a pg-rendszer szimbólumai látszólag értelmetlenek, hirtelen kiderül, hogy az őket tartalmazó tételek formáinak köszönhetően jelentésük van. Ez a felfedezés adja az első fontos betekintést abba, hogy mi a jelentés, és mennyire mély a kapcsolata az izomorfizmusokkal. Ezután különféle, a jelentéssel kapcsolatos kérdéseket tárgyalunk, olyanokat például, mint az igazság, a bizonyítás, a szimbólumkezelés és a „forma” megfoghatatlan fogalma.

Szonáta szóló-Akhilleuszra. Ez a párbeszéd Bach szólóhegedűre írt szonátáit utánozza, főként azáltal, hogy csak Akhilleusz beszél, mivel a párbeszéd egy olyan telefonhívás egyik felének leirata, ahol a vonal túlsó végén a Teknős van. Beszélgetésük az „alak” és „háttér” fogalmát érinti különféle környezetekben – például Escher művészetében. Maga a párbeszéd is példa az alak és a háttér közötti különbségtételre, mivel Akhilleusz sorai alkotják az „alak”-ot, a Teknős Akhilleusz soraiban implicite benne lévő sorai pedig a „hátteret”.

III. fejezet: Alak és háttér. Az alaknak és a háttérnek a művészetben szokásos megkülönböztetése a formális rendszerek tételei és nemtételei közötti különbségtételhez hasonlítható. Arra a kérdésre, hogy „vajon egy alak szükségszerűen ugyanazt az információt tartalmazza-e, mint a háttere?”, a rekurzívan felsorolható halmazok és a rekurzív halmazok közötti különbségtétel a válasz.

Contracrostipunctus. Ez a párbeszéd központi jelentőségű, mivel Gödel önhivatkozó szerkezetének és a Nemteljességi Tételnek számos átiratát tartalmazza. A Tétel egyik átírása szerint: „mindegyik lemezjátszóhoz van olyan lemez, amelyet a lemezjátszó nem tud lejátszani”. A párbeszéd címe az „akrosztichon” és a „kontrapunkt” latin szavak kereszteződése. Ez utóbbit Bach gyakran használta A fúga művészete című művében lévő kánonok és fúgák megjelölésére. Néhány közvetlen hivatkozás is van A fúga művészetére. A párbeszéden belül van néhány fogás, mely akrosztichonokon alapul.

IV. fejezet: Következetesség, teljesség és geometria. Az előző párbeszédet magyarázza annyira, amennyire csak lehetséges ebben a fázisban. Ez ahhoz a kérdéshez vezet vissza, hogy hogyan és mikor nyernek értelmet egy formális rendszer szimbólumai. Az euklideszi és nemeuklideszi geometria története a „nem definiált kifejezések” nehezen megfogható fogalmát szemlélteti. Innen a különféle, esetlegesen „rivális” geometriák következetességéről szóló gondolatokhoz jutunk. Ezek tárgyalása során tisztázzuk a nem definiált kifejezések kapcsolatát az érzékeléssel és a gondolkodási folyamatokkal.

Kis harmóniai labirintus. Ez a párbeszéd a hasonló című Bach-orgonadarabon alapul. Játékos bevezetés a rekurzív – vagyis egymásba ágyazott – szerkezetekbe. Történeteken belüli történeteket tartalmaz. A kerettörténet a várt módon való befejeződés helyett nyitva marad, és az Olvasót megoldás nélkül, függő állapotban hagyja. Az egyik beágyazott történet a zenei modulációról szól – nevezetesen egy orgonaműről, amely rossz hangnemben végződik, és a hallgatót megoldás nélkül, függő állapotban hagyja.

V. fejezet: Rekurzív szerkezetek és eljárások. A rekurzió gondolatát a fejezet különféle környezetekben mutatja be: zenei minták, nyelvi mintázatok, geometriai szerkezetek, matematikai függvények, fizikai elméletek, számítógépprogramok és egyéb összefüggések keretében.

Kánon intervallumnöveléssel. Akhilleusz és a Teknős azt a kérdést próbálja megoldani, hogy „mi tartalmaz több információt – egy lemez vagy az azt lejátszó fonográf?” Ez a furcsa kérdés akkor merül fel, amikor a Teknős egy olyan lemezről mesél, amely két különböző fonográfon teljesen eltérő dallamokat eredményez: B-A-C-H és C-A-G-E. Kiderül azonban, hogy egy különleges értelemben ezek a dallamok „egyformák”.

VI. fejezet: A jelentés helye. Átfogó ismertetés arról, hogyan oszlik meg a jelentés a kódolt üzenet, a dekódoló és a befogadó között. A bemutatott példák között DNS-szálak, régi kőtáblák megfejtetlen feliratai és űrben lebegő fonográffelvételek vannak. A fejezet az intelligencia és az „abszolút” jelentés kapcsolatát posztulálja.

Kromatikus fantázia és fúrás. Egy rövid párbeszéd, amely a címétől eltekintve alig emlékeztet valamiben Bach Kromatikus fantázia és fúga című művére. A párbeszéd témája az, hogy a mondatok helyes módon történő kezelésével hogyan lehet megőrizni az igazságot, főként pedig az, hogy vajon léteznek-e az „és” szó használatára vonatkozó szabályok. Ez a párbeszéd sokban emlékeztet Lewis Carroll párbeszédjére.

VII. fejezet: Az ítéletkalkulus. Javaslat arra, hogy az „és”-hez hasonló szavakat hogyan lehet formális szabályokkal kezelni. Ismét előkerülnek az izomorfizmusra vonatkozó gondolatok és az, hogy mitől válnak a szimbólumok automatikusan értelmessé az ilyen rendszerekben. A fejezetben szereplő összes példa „Zentencia” – zen kóanokból átvett szentencia (mondat). Ez részemről tudatos, bár kissé vicces döntés volt, mivel a zen kóanok szándékosan következetlen történetek.

Rákkánon. A párbeszéd a Zenei áldozat hasonló című darabján alapul. Mindkettőt azért nevezik így, mivel a rákok (állítólag) hátrafelé mozognak. A Rák ebben a párbeszédben tűnik fel először. A formális mutatványokat és a szintekkel való játékot illetően talán ez a könyv legtömörebb párbeszéde. Gödel, Escher és Bach mélyen egybefonódik ebben a nagyon rövid párbeszédben.

VIII. fejezet: Tipográfiai Számelmélet. A fejezet a logikai műveletek „TSZ”-nek nevezett kiterjesztését mutatja be. A TSZ-ben merev szimbólumkezeléssel számelméleti következtetések végezhetők. A formális következtetés és az emberi gondolkodás közötti különbségről is szó esik.

MU-áldozat. Ez a párbeszéd a könyv számos új témáját vetíti előre. Látszólag a zen buddhizmussal és a kóanokkal foglalkozik, a valóságban azonban alig leplezett módon azt tárgyalja, hogy a számelméleti stringek mikor tételek és mikor nem, mikor igazak és mikor hamisak. Számos hivatkozás történik a molekuláris biológiára – különösen a genetikai kódra. A címtől és az önhivatkozó játékoktól eltekintve nincs szoros kapcsolat a Zenei áldozattal.

IX. fejezet: Mumon és Gödel. Kísérlet a zen buddhizmus furcsa gondolatainak tárgyalására. A fejezet központi alakja egy Mumon nevű szerzetes, aki sok kóant közismert magyarázatokkal látott el. A zen gondolatai bizonyos módon képletesen emlékeztetnek a matematika és a filozófia néhány mai gondolatára. Ezután a „zenkedés” után bevezetjük a Gödel-számozást, amely Gödel alapvető gondolata volt, és első ízben tekintjük át a Gödel-Tételt.

II. rész: EGB

Prelúdium… Ez a párbeszéd a következő párbeszédhez kapcsolódik. A párbeszédek Bach Das wohltemperierte Klavier című művének prelúdiumain és fúgáin alapulnak. Akhilleusz és a Teknős ajándékot hoz a Ráknak. A Rák egy további vendége a Hangyász. Kiderül, hogy az ajándék a Wohltemperierte Klavier egyik felvétele; azonnal felteszik az első lemezt. A prelúdium hallgatása közben megtárgyalják a prelúdiumok és fúgák szerkezetét, ami arra készteti Akhilleuszt, hogy megkérdezze, vajon hogyan kell hallgatni egy fúgát: mint egy egészt, vagy mint részek összegét? Ez a teljesség és a redukcionizmus közötti vita tárgya, a vita a Hangyafúgában folytatódik majd.

X. fejezet: Leírási szintek és számítógéprendszerek. Képek, sakktáblák és számítógéprendszerek vizsgálatának különféle szintjeit tárgyalja. Ezután az utóbbit részletesen is megvizsgálja, ennek részei többek között az assembly nyelvek, a fordítóprogramok, az operációs rendszerek, és így tovább. Ezután másfajta összetett rendszerek, például focicsapatok, atommagok, atomok, az időjárás stb. tárgyalására tér át. Felmerül az a kérdés, hogy hány közbülső szint létezik – vagy hogy létezik-e akár egyetlenegy is.

…Hangyafúga. Egy zenei fúga utánzata: mindegyik szereplő ugyanazzal a mondattal lép be. A témát – teljesség vagy redukcionizmus – egy olyan rekurzív kép vezeti be, amely szavakból áll, a szavak viszont apróbb szavakból állnak stb. Ennek a furcsa képnek a négy szintjén a „TELJESSÉG”, a „REDUKCIONIZMUS” és az „MU” szavak szerepelnek. A beszélgetés a Hangyász egy barátjára is kitér, Bolyai nénire, egy értelmes hangyabolyra. Az ő gondolkodási folyamatainak különféle szintjei adják a beszélgetés témáját. A párbeszéd sok, a fúgákból ismert eszközt vonultat fel. Az Olvasó számára útmutatásul hivatkozások vannak a lemezről felhangzó fúga párhuzamos eszközeire. A Hangyafúga végén a Prelúdium témái térnek vissza, meglehetősen átalakított formában.

XI. fejezet: Agyak és gondolatok. A fejezet témája: „hogyan támogatja az agy hardvere a gondolatokat?” Először az agy nagy és kis léptékű felépítését ismerteti, majd spekulatív módon részletesen tárgyalja a fogalmak és az idegi aktivitás közötti összefüggést.

Angol–francia–német–magyar szvit. Közjáték, amely Lewis Carroll „Jabberwocky” című nonszensz verséből és három fordításból áll: az első francia, a második német, a harmadik magyar; az első két fordítás a XIX. században készült, a harmadik pedig a XX. században.

XII. fejezet: Elmék és gondolatok. Az előző versek azt a kérdést vetik fel erőteljes módon, hogy a nyelvek vagy a gondolkodó emberek megfeleltethetők-e egymásnak. Hogyan lehetséges két különálló fizikai agy között a kapcsolattartás? Mi az, ami az összes emberi agyban közös? Egy földrajzi analógia segítségével próbálunk válaszolni. Felmerül a kérdés: „képes-e egy külső szemlélő valamilyen objektív értelemben egy agy megértésére?”

Ária különféle változatokkal. A párbeszéd formája Bach Goldberg-variációk című művén alapul, tartalma pedig olyan számelméleti problémákkal kapcsolatos, mint például a Goldbach-sejtés. Ennek a hibrid fejezetnek a fő célja az, hogy bemutassa: a számelmélet bonyolultsága abból fakad, hogy a végtelen térben való keresés témájának sok különféle változata van. Némelyik ezek közül végtelen kereséshez vezet, némelyik véges kereséshez, míg a többi a kettő között lebeg.

XIII. fejezet: KcikluS, FcikluS és FFcikluS. Ez három számítógépes nyelv elnevezése. A KcikluS-programokkal csak megjósolhatóan véges keresések hajthatók végre, míg a FcikluS-programokkal megjósolhatatlanul hosszú vagy akár végtelen keresések. A fejezet célja a számelmélet primitív rekurzív és általánosan rekurzív függvényfogalmának intuitív megvilágítása, mivel ezek szerepe alapvető a Gödel-Tétel bizonyításában.

Air G-re. Gödel önhivatkozó szerkezetét szavakban tükröző párbeszéd. Az ötlet W. V. Quine-tól származik. A párbeszéd a következő fejezet mintájául szolgál.

XIV. fejezet: A TSZ és a hozzá hasonló rendszerek formálisan eldönthetetlen állításairól. A fejezet címe Gödel 1931-es cikkének címét adaptálja. Gödel ebben a cikkben publikálta először Nemteljességi Tételét. Részletesen ismertetjük a gödeli bizonyítás két fő részét. Megmutatjuk, hogy a TSZ következetességét feltételezve miért kényszerülünk arra a következtetésre, hogy a TSZ (vagy bármely hasonló rendszer) nem teljes. Az euklideszi és a nemeuklideszi geometriával való kapcsolatot is tárgyaljuk. Részletesen elemezzük, hogy a Tétel miként hat a matematikai filozófiára.

Születésnapi kantátatata… Melyben Akhilleusznak nem sikerül meggyőznie a körmönfont és kétkedő Teknőst arról, hogy ma van a születésnapja. Erre irányuló ismétlődő, de sikertelen kísérletei előrevetítik Gödel érvelésének megismételhetőségét.

XV. fejezet: Kiugrás a rendszerből. Megmutatja Gödel érvelésének megismételhetőségét, amelynek következtében a TSZ nemcsak hogy nem teljes, de „alapvetően nem teljes”. Elemzi J. R. Lucas eléggé közismert érvelését, amely szerint a Gödel-Tétel azt mutatja, hogy az emberi gondolkozás semmilyen értelemben sem lehet „mechanikus”, és bemutatja, hogy ez az érvelés kívánnivalókat hagy maga után.

Egy dohányos épületes gondolatai. Sok témát érintő párbeszéd, melynek középpontjában az önreprodukcióval és az önhivatkozással kapcsolatos problémák állnak. A felhasznált példák között televíziós képernyőket felvevő televíziós kamerák, vírusok, valamint egyéb, a sejtnél kisebb, önmagukat összeszerelő egységek vannak. A cím egy költeményre utal, amelyet maga J. S. Bach írt, és különleges módon kerül a képbe.

XVI. fejezet: Önhiv és önrep. Ez a fejezet a különféle megjelenési formájú önhivatkozások és az önmagukat reprodukáló egyedek (például számítógépprogramok, DNS-molekulák) közötti kapcsolatról szól. Az önreprodukáló egyedek és az önreprodukciót segítő külső mechanizmusok (például számítógépek vagy fehérjék) közötti kapcsolatot is tárgyalja – főként a különbségtétel elmosódott voltát. A fejezet központi témája az, hogy miként terjed az információ az ilyen rendszerek különböző szintjei között.

Magnifirák dé(l)ben. A cím egy szójáték Bach D-dúr Magnificatjára. A történet a Rákról szól, aki azt a benyomást kelti, mintha mágikus képességgel meg tudná különböztetni a számelmélet igaz vagy hamis állításait oly módon, hogy zenei darabokként értelmezi őket, lejátssza a fuvoláján, és eldönti, hogy „szépek”-e, vagy sem.

XVII. fejezet: Church, Turing, Tarski és mások. Az előző párbeszéd képzelt Rákját csodálatos képességű valóságos emberek helyettesítik. Különféle, különböző erősségű változatokban bemutatjuk a Church–Turing-Tézist, amely a szellemi tevékenységet a számítástechnikával hozza kapcsolatba. Az összes változatot elemezzük, különösen abból a szempontból, hogy milyen hatással vannak az emberi gondolkodás számítógépes szimulációjára; megvizsgáljuk, hogy beprogramozható-e egy olyan képesség, amely érzékeli a szépséget vagy szépséget hoz létre. Az agytevékenység és a kiszámíthatóság közötti kapcsolat néhány egyéb problémát is felvet: a Turing-féle leállási problémát és Tarski Tételét.

SHRDLU az én örömem. A párbeszédet Terry Winograd egyik cikkéből emeltük ki, amely az általa írt SHRDLU programról szólt; csupán néhány nevet változtattunk meg. A párbeszédben egy program és egy ember beszélget eléggé meggyőző angolsággal egy ún. „építőkocka-világról”. Úgy tűnik, mintha a számítógépprogram bizonyos mértékű értelmet mutatna – a saját korlátozott világában. A párbeszéd címe Bach 147. kantátájának egyik tételén alapul, melynek címe: Jesu, meine Freude (Jézus az én örömem).

XVIII. fejezet: mesterséges intelligencia: visszatekintés. Ez a fejezet a híres „Turing-teszt” tárgyalásával kezdődik. A Turing-tesztet Alan Turing, a számítástechnika egyik úttörője javasolta abból a célból, hogy a segítségével kimutassák egy gépben a „gondolat” meglétét vagy hiányát. Innen a mesterséges intelligencia rövid történetére térünk át. Idetartoznak azok a programok, melyek bizonyos fokig játszani tudnak, tételeket bizonyítanak, problémákat oldanak meg, zenét szereznek, matematikai tevékenységet végeznek és „természetes” nyelvet (például angolt) használnak.

Contrafactus. Arról szól, hogyan szervezzük öntudatlanul is úgy a gondolatainkat, hogy a valós világról állandóan feltételezett változatokat tudjunk elképzelni. Ennek a képességnek a beteges hiányáról is szólunk – ez a helyzet az új szereplő, a Lajhár esetében, aki szenvedélyesen szereti a rósejbnit és veszettül utálja a feltételezéseket.

XIX. fejezet: Mesterséges intelligencia: kilátások. Az előző párbeszéd által felvetett kérdést tárgyalja, vagyis hogy a környezet rétegei hogyan ábrázolják a tudást. Ez vezet el az MI modern gondolatához, a „keretekhez”. A konkrétum kedvéért bemutatjuk, hogy a vizuális alakfelismerési rejtvények hogyan kezelhetők keretszerű módon. Ezután általánosságban tárgyaljuk a fogalmak kölcsönhatásának nehéz kérdését, ami az alkotókészség vizsgálatához vezet. A fejezetet az MI-ről és általánosságban az elméről szóló személyes Kérdések és töprengések zárják.

Lajhárkánon. Ez a kánon azt a Bach-kánont utánozza, amelyben az egyik szólam ugyanazt a dallamot játssza, mint a másik, csak felülről lefelé és kétszer lassabban, míg a harmadik szólam szabad. A párbeszédben a Lajhár ugyanazokat a sorokat mondja, mint a Teknős, csak negálva (a szó szabadabban vett értelmében) és kétszer lassabban, míg Akhilleusz szabad.

XX. fejezet: Furcsa hurkok, avagy kusza hierarchiák. A hierarchikus rendszerekről és az önhivatkozásról szóló gondolatok nagy lezárása. Azokkal a „hurkokkal” foglalkozik, melyek akkor lépnek föl, ha a rendszerek önmagukba fordulnak vissza – például a tudományt vizsgáló tudomány vagy az állami bűnözést vizsgáló állam esetében, a művészet törvényeit megsértő művészet esetében, és végül a saját agyukról és elméjükről gondolkodó emberek esetében. Vajon mond-e a Gödel-Tétel valamit ez utóbbi „hurokról”? Vajon a szabad akarat és a tudatosság érzete kapcsolatban van-e a Gödel-Tétellel? A fejezet Gödel, Escher és Bach ismételt összekapcsolásával zárul.

Hatszólamú ricercar. Ez a párbeszéd jókedvű játék azokkal a gondolatokkal, amelyek áthatják a könyvet. A párbeszéd a könyvet nyitó Zenei áldozat történetének újrajátszása, egyúttal a Zenei áldozat egyik legbonyolultabb darabjának, a Hatszólamú ricercarnak szavakba való „átfordítása”. Ez a kettősség a párbeszédet a könyvben lévő bármely más párbeszédnél több jelentésszinttel ruházza föl. Nagy Frigyest a Rák helyettesíti, a zongorákat a számítógépek, és így tovább. Sok meglepetés adódik. A párbeszéd az elme, a tudatosság, a szabad akarat, a mesterséges intelligencia, a Turing-teszt stb. korábban tárgyalt problémáiról szól. A párbeszéd a könyv elejére történő közvetett hivatkozással zárul, ennek révén az egész könyv egy nagy önhivatkozó hurokká válik, amely egyszerre szimbolizálja Bach zenéjét, Escher rajzait és Gödel Tételét.

Köszönő szavak

Ez a könyv közel húsz évig érlelődött bennem – tizenhárom éves korom óta, amikor arról gondolkodtam, hogy hogyan gondolkodom angolul és franciául. De már ezt megelőzően is világos jelek mutatták, hogy mi a legfőbb érdeklődési köröm. Emlékszem, hogy kiskoromban semmi sem volt elbűvölőbb számomra annál a gondolatnál, hogy vegyünk három 3-at: a 3 önmagával önmagára hatott! Biztos voltam benne, hogy ez a gondolat annyira különleges, hogy más el sem tudja képzelni – de egy napon voltam oly bátor, és megkérdeztem anyámtól, hogy vajon ez mennyi lehet, ő pedig azt válaszolta, hogy „kilenc”. Nem voltam azonban biztos benne, hogy megértette-e, mire gondolok. Később apám bevezetett a négyzetgyök és az i rejtelmeibe…

Többel tartozom a szüleimnek, mint bárki másnak. Támogató oszlopaim voltak, akikre mindig számíthattam. Utat mutattak nekem, lelkesítettek, bátorítottak és támogattak. A legfontosabb azonban az, hogy mindig hittek bennem. Nekik ajánlottam ezt a könyvet.

Két régi barátomnak, Robert Boeningernek és Peter Jonesnak külön köszönettel tartozom, mivel millióféleképpen segítettek formába önteni a gondolatokat, hatásuk és gondolataik az egész könyvben megtalálhatók.

Sokkal tartozom Charles Brennernek, aki programozni tanított, mikor még mindketten fiatalok voltunk, és azért, mert állandóan biztatott és ösztökélt – közvetve dicsért –, néha pedig bírált.

Örömmel említem meg régi barátom és tanítóm, Ernest Nagel hatalmas hatását. Szerettem „Nagel és Newman”-t, sokat tanultam abból a számtalan beszélgetésből, amit régebben Vermontban, a közelmúltban pedig New Yorkban folytattunk.

Howard DeLong a könyve révén ébresztette fel bennem a régen szunnyadó szeretetet ennek a könyvnek a témái iránt. Valóban sokkal tartozom neki.

David Jonathan Justman tanított meg arra, hogy milyen dolog Teknősnek lenni – szellemes, kitartó és humoros lénynek, aki szereti a paradoxonokat és az ellentmondásokat. Remélem, hogy elolvassa és élvezi majd ezt a könyvet, amely részben neki köszönhető.

Scott Kim óriási hatást gyakorolt rám. Amióta két és fél éve találkoztunk, hihetetlen összhang van közöttünk. Eltekintve konkrét művészi, zenei alkotásaitól, humorától, analógiáitól stb. – valamint a kritikus időkben végzett és nagyra becsült önkéntes munkájától –, Scott olyan új perspektívákkal és meglátásokkal gazdagított, amelyek a saját törekvéseimről vallott nézeteimet is megváltoztatták a munka előrehaladása során. Ha valaki érti ezt a könyvet, az Scott.

Kisebb-nagyobb ügyekben gyakran fordultam tanácsért Don Byrdhöz, aki oda-vissza ismeri ezt a könyvet… Tévedhetetlenül megérezte a könyv átfogó céljait és szerkezetét, mindig jó ötleteket adott, ezeket örömmel beépítettem. Csak azt sajnálom, hogy nem tudom majd beépíteni azokat a jövőbeli ötleteit, melyekkel Don akkor áll majd elő, amikor a könyv már nyomdában lesz. El ne felejtsem megköszönni Donnak azt a bámulatos rugalmasságot a rugalmatlanságban, amit kottanyomtató programjában, a SMUT-ban létrehozott. Don fáradságos napokat és éjszakákat töltött azzal, hogy kicsikarja a SMUT-ból a tökéletességet, és lehetetlen mutatványokat vigyen vele véghez. Néhány eredménye ábrák formájában jelen van a könyvben. Don hatása azonban az egész kötetben megmutatkozik, aminek nagyon örülök.

Valószínűleg nem tudtam volna megírni ezt a könyvet, ha nem állt volna rendelkezésemre a Stanford Egyetemen a Társadalomtudományok Matematikai Problémáinak Kutatóintézete (Institute for Mathematical Studies in Social Sciences, IMSSS). Igazgatója, Pat Suppes régi barátom. Pat rendkívül nagylelkű volt hozzám: a Ventura Hallban szállásolt el, lehetővé tette, hogy hozzáférjek egy kiváló számítógéprendszerhez, és általában is kitűnő környezetet biztosított két teljes éven keresztül – és még azután is.

Ez Pentti Kanervához vezet el, aki annak a szövegszerkesztő programnak a szerzője, amelynek ez a könyv a létezését köszönheti. Sok embernek elmondtam már, hogy kétszer annyi ideig is eltartott volna a könyvem megírása, ha nem használhattam volna a „TV-Edit”-et, ezt a gyönyörű programot, amely szellemében annyira egyszerű, hogy csak Pentti írhatta. Szintén Penttit illeti köszönet azért, hogy olyasvalamit csinálhattam, ami nagyon kevés szerzőnek adatott meg eddig: kiszedhettem a saját könyvemet. Ő volt az IMSSS-ben a számítógépes szedés kifejlesztésének egyik meghatározó alakja. Számomra azonban ugyanilyen fontos Pentti egy ritka képessége: a stílusérzéke. Ha a könyvem jól néz ki, abban az érdem nagy része Pentti Kanerváé.

A könyv ténylegesen az ASSU szedőüzemében született meg. Sok szívélyes köszönő szó illeti meg az igazgatót, Beverly Hendrickset és csapatát a szorult helyzetekben nyújtott segítségükért és állandó jókedvükért, ami annak ellenére megmaradt, hogy egyik csapás a másikat követte. Szeretnék köszönetet mondani Cecille Taylornak és Barbara Laddagának is, akik a kefelenyomatok előállításának legtöbb tényleges munkáját végezték.

Az évek során nővérem, Laura Hofstadter nagyban befolyásolta a világszemléletemet. Hatása mind a könyv formájában, mind a tartalmában jelen van.

Szeretném megköszönni régebbi és újabb barátaim, Marie Anthony, Sydney Arkowitz, Bengt Olle Bengtsson, Felix Bloch, Francisco Claro, Persi Diaconis, Nâi-Huá Duàn, John Ellis, Robin Freeman, Dan Friedman, Pranab Ghosh, Michael Goldhaber, Avril Greenberg, Eric Hamburg, Robert Herman, Ray Hyman, Dave Jennings, Dianne Kanerva, Lauri Kanerva, Inga Karliner, Jonathan és Ellen King, Gayle Landt, Bill Lewis, Jos Marlowe, John McCarthy, Jim McDonald, Louis Mendelowitz, Mike Mueller, Rosemary Nelson, Steve Omohundro, Paul Oppenheimer, Peter E. Parks, David Policansky, Pete Rimbey, Kathy Rosser, Wilfried Sieg, Guy Steele, Larry Tesler, François Vannucci, Phil Wadler, Terry Winograd és Bob Wolf segítségét, akik életem kritikus periódusaiban „rám hangolódtak”, és ily módon különféleképpen hozzájárultak ehhez a könyvhöz.

Ezt a könyvet kétszer írtam meg. Megírtam, majd újrakezdtem és átírtam az egészet. Az első menet akkor történt, amikor még fizikushallgató voltam az Oregoni Egyetemen, a tantestület négy tagja pedig eléggé elnéző volt a különcségeim iránt: Paul Csonka, Rudy Hwa, Mike Moravcsik és Gregory Wannier. Megértő magatartásukat köszönöm. Ezenkívül Paul Csonka a könyv teljes korai változatát is olvasta, és hasznos megjegyzéseket tett.

Köszönet E. O. Wilsonnak a Prelúdium, Hangyafúga egy korai változatának az elolvasásáért és az észrevételeiért.

Köszönet Marsha Meredithnek, aki a metaszerzője egy vicces kóannak.

Köszönet Marvin Minskynek, amiért emlékezetes beszélgetést folytathattam vele az otthonában egy márciusi napon. Ennek a beszélgetésnek a részleteit ebben a könyvben rekonstruáltam.

Köszönet Bill Kaufmann-nek a kiadói tanácsaiért, valamint Jeremy Bernsteinnek és Alex George-nak, amiért bátorító szavakat mondtak, amikor erre szükségem volt.

Nagyon meleg köszönet Martin Kesslernek, Maureen Bischoffnak, Vincent Torrénak, Leon Dorinnak és a Basic Books összes többi dolgozójának, amiért megvalósították ezt a sok szempontból egészen rendkívüli kiadói vállalkozást.

Köszönet Phoebe Hossnak, amiért a szerkesztés nehéz munkáját jól végezte, és Larry Breednek az utolsó percekben végzett értékes korrektori tevékenységéért. Köszönet a sok Imlac-szobatársamnak, akik az évek során számos telefonüzenetet vettek át. Köszönet a Pine Hall-i csapatnak is, akik kifejlesztették és karbantartották annak a hardvernek és szoftvernek a nagy részét, amelytől ez a könyv oly életbevágó módon függött. Köszönet Dennis Daviesnek, a Stanfordi Oktató Televíziós Hálózat munkatársának, amiért segített beállítani az órákon át fényképezett „önfelfaló televíziókat”.

Köszönet Jerry Pryke-nak, Bob Parksnak, Ted Breadshaw-nak és Vinnie Aveninek, a Stanfordi Nagyenergiájú Fizikai Laboratórium műhelye munkatársainak, akik nagylelkűen segítettek a triplettek előállításában.

Köszönet nagynénimnek és nagybácsimnak, Jimmy és Betty Givannek azért a karácsonyi ajándékért, melyről nem is sejtették, hogy mennyire tetszeni fog nekem: egy „Fekete Doboz”, aminek semmilyen más feladata nem volt, mint hogy kifordítsa önmagát.

Végül külön köszönetet mondok elsőéves angoltanáromnak, Brent Haroldnak, aki először zúdította rám a zent; Kees Gugelot-nak, aki egy szomorú régi novemberi napon egy lemezt adott nekem, melyen a Zenei áldozat volt; és Otto Frischnek, akinek cambridge-i irodájában először láttam Escher varázslatát.

Megpróbáltam mindenkire visszaemlékezni, aki hozzájárult e könyv létrejöttéhez, de minden bizonnyal nem sikerült mindenkit feltüntetnem.

Ez a könyv bizonyos módon a vallásom kifejezése. Remélem, hogy ez az Olvasóhoz is eljut majd, bizonyos gondolatok iránti lelkesedésem és tiszteletem pedig beszivárog majd néhány ember szívébe és elméjébe. Ez a legtöbb, amit kívánhatok.

D. R. H.

Bloomington és Stanford

1979. január

Előszó a GEB húszéves,
jubileumi kiadásához

MIRŐL IS SZÓL valójában a Gödel, Escher, Bach: Egybefont Gondolatok Birodalma című könyv – vagy ahogy általában emlegetik, a „GEB”?

Ez a kérdés azóta kísértett engem, amióta csak 1973-ban papírra vetettem a GEB első vázlatait. A barátaim természetesen gyakran érdeklődtek, hogy mi az, ami ennyire magával ragadott, de nagyon nehezen tudtam volna röviden elmagyarázni nekik. Pár évvel később, 1980-ban, amikor a GEB egy ideig a The New York Times bestsellerlistáján szerepelt, a cím alá nyomtatott kötelező, egymondatos összefoglaló heteken át a következő volt: „Egy tudós szerint a valóság nem más, mint egymáshoz kapcsolódó fonatok rendszere.” Miután hevesen tiltakoztam ez ellen a sületlenség ellen, végül javítottak rajta – de az új változat is épp csak annyira lett pontos, hogy ne kezdjek el megint tiltakozni.

Sokan azt gondolják, hogy a cím mindent elmond: a könyv egy matematikusról, egy képzőművészről és egy zeneszerzőről szól. De már egy futó pillantás is elég ahhoz, hogy lássuk: ez a három személy önmagában – bármilyen kiválóak is – csak mellékes szerepet játszik a könyv tartalmában. Semmiképpen sem mondhatjuk, hogy a könyv róluk szól!

Nos, mi lenne, ha úgy írnánk le a GEB-et, mint „egy könyvet, amely megmutatja, hogy a matematika, a művészet és a zene a lényegét tekintve valójában ugyanaz”? Ez ismét nagyon messze lenne az igazságtól – mégis újra meg újra ezt hallom, nemcsak azoktól, akik soha nem olvasták a könyvet, hanem azoktól is, akik igen, sőt a leglelkesebb olvasóktól is.

A könyvesboltokban a GEB-et a legkülönfélébb részlegek polcain találhatjuk meg. Nemcsak a matematikához, az általános tudományhoz, a filozófiához és a kognitív tudományhoz sorolják (ami rendben is van), hanem a valláshoz, az okkultizmushoz, és a jó ég tudja, hová még. Miért olyan nehéz megállapítani, hogy miről szól ez a könyv? Nyilvánvalóan nem csak a terjedelme miatt. Sokkal inkább azért, mert a GEB számos, látszólag egymástól távoli témával foglalkozik – és nem csupán felszínesen. Kánonok és fúgák, logika és igazság, geometria, rekurzió, szintaktikai szerkezetek, a jelentés természete, zen buddhizmus, paradoxonok, az agy és a tudat működése, redukcionizmus és holizmus, hangyabolyok, fogalmak és mentális reprezentációk, fordítás, számítógépek és programnyelveik, DNS, fehérjék, genetikai kód, mesterséges intelligencia, kreativitás, tudatosság és szabad akarat – olykor még a művészet és a zene is felbukkan! Nem csoda, hogy sokan képtelenek megtalálni a könyv központi gondolatát.

A GEB központi képei és gondolatai

Mondanom sem kell, hogy az évek során ez a széles körű félreértés igen zavaró volt a számomra, hiszen biztos voltam benne, hogy a szövegben újra meg újra kifejtettem a céljaimat. De úgy tűnik, nem elég gyakran és nem elég világosan. Most viszont, hogy ismét lehetőségem nyílik erre – és ráadásul a könyv elég feltűnő helyén –, szeretném még egyszer, utoljára elmondani, hogy miért írtam ezt a könyvet, miről szól, és mi a fő tézise.

Röviden, a GEB egy nagyon személyes kísérlet arra, hogy elmondjam, miként jöhetnek létre élőlények élettelen anyagból. Mi az az „én”, és hogyan alakulhat ki egy „én” olyan anyagból, amely ugyanolyan tudattalan, mint egy kő vagy egy pocsolya? Mi az az „én”, és miért találhatók meg ezek a dolgok (legalábbis eddig) kizárólag – ahogy a költő, Russell Edson csodálatosan megfogalmazta – az „álmok és félelmek imbolygó lámpásaiban”? Vagyis miért társulnak bizonyos kocsonyás anyagokhoz, amelyeket kemény védőburok zár körül, és amelyek mozgatható talapzatra szerelve, csuklós szerkezetű, kissé bizonytalan működésű „gólyalábak” segítségével járják a világot?

A GEB úgy közelíti meg ezt a kérdést, hogy lassan felépít egy analógiát: az élettelen molekulákat a jelentés nélküli szimbólumokhoz hasonlítja, míg a tudatot (vagy az „én”-t, esetleg „lelket” – vagy bármit, ami megkülönbözteti az élő anyagot az élettelentől) olyan különleges, tekergő, kígyózó, örvényszerű és jelentéssel bíró mintákhoz hasonlítja, amelyek kizárólag a jelentés nélküli szimbólumok bizonyos rendszereiben jelennek meg. A könyv nagy része ezekkel a furcsa, kevéssé ismert, kevéssé értékelt, józan ésszel nehezen felfogható és rejtélyes mintákkal foglalkozik. Nem nehéz belátni, miért nevezem ezeket a különös, visszahurkolódó mintákat „furcsa hurkok”-nak. A későbbi fejezetekben azonban a „kusza hierarchiák” kifejezést is használom, lényegében ugyanennek a gondolatnak a leírására.

Sok szempontból ezért került M. C. Escher – pontosabban a művészete – előkelő helyre az „egybegebesítésben”, mert Eschert éppúgy lenyűgözték a furcsa hurkok, akárcsak engem, és képes volt különféle, csodálatosan zavarba ejtő és elbűvölő formában lerajzolni őket. Amikor először kezdtem dolgozni a könyvemen, Escher még teljesen a képen kívül (vagy, ahogy ma mondanánk, a „hurkon kívül”) volt. Az eredeti munkacímem az eléggé száraz „Gödel tétele és az emberi agy” volt, és eszembe sem jutott, hogy paradox képeket tegyek a szövegbe, nem is szólva a játékos párbeszédekről. Csakhogy, miközben a furcsa hurkok fogalmáról írtam, lelki szemeim előtt, mintha csak önkéntelenül törtek volna elő, be-bevillantak bizonyos Escher-képek. Egy idő után rájöttem, hogy ezek a képek az elmémben annyira összefonódtak azzal, amit írtam, hogy egyszerűen kegyetlenség lett volna az olvasóimat megfosztani attól a kapcsolattól, amelyet én magam ilyen erősen éreztem. Így hát Escher művészete is helyet kapott a könyvben. Ami Bachot illeti, később fogom elmagyarázni, hogy hogyan került be az „elmékre és gépekre írt metaforikus fúgába”.

De térjünk vissza a furcsa hurkokhoz. A GEB-et az a régi meggyőződésem inspirálta, hogy a „furcsa hurkok” fogalma a kulcsa annak a rejtélynek, amelyet mi, tudatos lények „létezésnek” vagy „tudat”-nak nevezünk. Először akkor döbbentem rá erre, amikor tizenéves koromban azon kaptam magam, hogy megszállottan elmélkedem azon az alapvető furcsa hurkon, amely Kurt Gödel híres nemteljességi tételében a tétel bizonyításának középpontjában áll. Talán ez elég furcsa hely, ha valaki a tudat és az „én” természete mögötti titkokat keresi – mégis, mintha Nagel és Newman könyvének lapjairól szinte ordított volna, hogy erről van szó.

Ez az előszó nem a megfelelő hely arra, hogy részletekbe bocsátkozzam – elvégre az önök kezében lévő könyv épp ezért íródott. Merészség lenne azt gondolnom, hogy néhány oldalon sikerül túlszárnyalnom a szerzőt! Egy dolgot azonban már most fontos kimondani: a matematika formális rendszerei – vagyis az olyan szabálygyűjtemények, amelyekkel matematikai igazságok végtelen sorozata állítható elő, pusztán mechanikus szimbólummanipulációval, tekintet nélkül a szimbólumok formái mögött rejtőző jelentésekre vagy gondolatokra – tartalmaznak egy gödeli furcsa hurkot. Ez a hurok lehetővé teszi, hogy a rendszer „észlelje önmagát”, beszéljen „önmagáról”, és hogy bizonyos értelemben „öntudatra ébredjen”. Nem túlzás azt mondani, hogy egy ilyen hurok révén a formális rendszer egy saját „én”-re tesz szert.

A jelentés nélküli szimbólumok önmaguk dacára jelentést nyernek

Az az igazán különös ebben, hogy azok a formális rendszerek, amelyekben ezek a kezdetleges „én”-ek létrejönnek, pusztán jelentés nélküli szimbólumokból állnak. Az én – már amennyire létezik – kizárólag a jelentés nélküli szimbólumok között kialakuló különleges, örvénylő és kusza mintázatok miatt jelenik meg. De most be kell vallanom: szándékosan fogalmaztam ilyen visszafogottan, amikor újra meg újra a „jelentés nélküli szimbólumok” kifejezést használtam az előző mondatokban, mert a könyvem egyik alapgondolata az, hogy a jelentés a formális rendszerek szükségszerű vonása, ha elég összetett izomorfizmusok alakulnak ki bennük. A jelentés akkor is megjelenik, ha minden erőnkkel próbáljuk megőrizni a szimbólumok jelentésnélküliségét!

Szeretném ezt a pár utolsó mondatot az „izomorfizmus” fogalma nélkül újra megfogalmazni. Ha egy „jelentés nélküli” szimbólumokból álló rendszer olyan mintákat tartalmaz, amelyek pontosan nyomon követik vagy tükrözik a világ különféle jelenségeit, akkor ez a tükrözés bizonyos mértékű jelentéssel ruházza fel a szimbólumokat. Hiszen az ilyen nyomon követés vagy tükrözés pontosan az, amit jelentésnek nevezünk – se több, se kevesebb. Az, hogy milyen összetett, kifinomult és megbízható a tükrözés, meghatározza a jelentéstartalom mértékét. Ebbe itt nem mennék bele részletesebben, mert ezt a tézist a könyv többször tárgyalja, különösen a II., IV., VI., IX. és XI. fejezetekben.

Egy tipikus formális rendszerhez képest az emberi nyelv hihetetlenül rugalmas és kifinomult módon követi nyomon a valóságot, ezért a formális rendszerek szimbólumai nagyon száraznak tűnhetnek. Valójában nem kell sok ahhoz, hogy teljesen jelentés nélkülinek tekintsük őket. De gondoljunk csak egy számunkra ismeretlen írásjelekkel írt újságra: a furcsa alakzatokban nem látunk mást, mint csodálatosan bonyolult, de teljesen jelentés nélküli mintákat. Így még a rendkívül gazdag emberi nyelvből is teljes mértékben eltávolítható a jelentés.

Ami azt illeti, számos filozófus, tudós és más gondolkodó véli úgy, hogy a szimbólumok mintáinak (például a könyveknek, filmeknek, könyvtáraknak, CD-ROM-oknak vagy számítógépes programoknak, bármilyen bonyolultak vagy dinamikusak is legyenek) önmagukban soha nincs saját jelentésük. Ehelyett a jelentés valamilyen rejtélyes módon kizárólag azokból a szerves kémiai vagy esetleg kvantummechanikai folyamatokból fakad, amelyek szénalapú biológiai agyakban zajlanak. Bár számomra az ilyen provinciális, biosoviniszta nézet elfogadhatatlan, mégis elég világosan értem, hogy intuitív módon miért olyan vonzó. Ha megpróbálom magam egy olyan ember helyébe képzelni, aki hisz az agyak elsődlegességében, sőt különleges voltában, akkor világosan látom, hogy honnan ered ez a meggyőződés.

Az ilyen emberek úgy gondolják, hogy valamiféle „szemantikai varázslat” történik, de kizárólag a mi „imbolygó lámpásainkban”, valahol a szemgolyóink mögött – bár sohasem tudják pontosan megmondani, hogyan vagy miért történik mindez. Hisznek abban is, hogy ez a szemantikai varázslat felelős az emberi lélek, a tudat, az „én” létezéséért. Én pedig, ami azt illeti, teljesen egyetértek velük abban, hogy az én és a szemantika – más szóval az „én”-ek és a jelentések – ugyanabból a forrásból fakadnak. Azonban vitába szállok azzal a nézetükkel, hogy ezek a jelenségek kizárólag az agy mikroszkopikus hardverének néhány különleges, bár eddig még feltáratlan tulajdonságából erednének.

Szerintem az „én”-t és a tudatot valamiféle varázslatként felfogó elképzeléssel csak úgy lehet szembeszállni, ha újra meg újra emlékeztetjük magunkat – bármennyire kellemetlen is –, hogy az „álmok és félelmek imbolygó lámpása”, amely biztonságosan fészkel a koponyánkban, valójában egy teljesen élettelen és steril alkotóelemekből álló, tisztán fizikai objektum. Ez az objektum ugyanazoknak a törvényeknek engedelmeskedik, mint az univerzum bármely más része, például a könyvek szövegei, a CD-ROM-ok vagy a számítógépek. Csak akkor kezdhetünk lassan ráérezni a tudatosság rejtélyének megoldására, ha folyamatosan összeütközünk ezzel a nyugtalanító ténnyel. A kulcs nem az agyat alkotó anyagban van, hanem azokban a mintázatokban, amelyek az agy anyagában létrejöhetnek.

Felszabadító ez a nézőpontváltás, mert lehetővé teszi, hogy más szinten tekintsünk az agyakra: mint olyan közegekre, amelyek bonyolult mintázataikkal – bár messze nem tökéletesen – tükrözik a világot, amelynek, mondanunk sem kell, maguk is részei. És az elkerülhetetlenül megjelenő öntükrözésben, legyen az bármennyire részleges vagy tökéletlen, örvényleni kezd a tudatosság furcsa hurka.

Kurt Gödel áttörése Bertrand Russell Maginot-vonalán

Épp az előbb jelentettem ki, hogy ha figyelmünket az anyagi összetevőkről az absztrakt mintákra fordítjuk, lehetővé válik az a szinte varázslatos ugrás, amely az élettelent élővé, a nem szemantikust szemantikussá, az értelmetlent értelmessé teszi. De hogyan történik mindez? Végső soron az anyag és a minta közötti nem minden ugrás idéz elő tudatosságot, lelket vagy ént – egyszóval nem minden minta tudatos. Milyen mintázat az, amely az én árulkodó ismertetőjegye? A GEB válasza: egy furcsa hurok.

Ironikus módon az első furcsa hurkot – amely az egész fogalom modelljévé vált számomra – épp egy olyan rendszerben találták meg, amelyet kifejezetten azért alkottak, hogy távol tartsa a hurkokat. Bertrand Russell és Alfred North Whitehead híres értekezéséről, a Principia Mathematicáról beszélek, egy hatalmas, ijesztő műről, amelyben a sűrűn írt, bonyolult szimbólumok köteteket töltöttek meg. Az 1910 és 1913 között megalkotott mű főként Russell azon kétségbeesett kísérletének köszönhető, mellyel szerette volna kiküszöbölni az önhivatkozás paradoxonjait a matematikából.

A Principia Mathematica középpontjában Russell úgynevezett „típuselmélete” állt, amely arra szolgált, hogy a nagyjából ugyanebben az időszakban létrehozott Maginot-vonalhoz hasonlóan a lehető legmegbízhatóbban távol tartsa „az ellenséget”.

A franciák számára az ellenség Németország volt; Russell számára pedig az önhivatkozás. Russell úgy gondolta, hogy egy matematikai rendszer számára a halál csókját jelenti, ha bármilyen módon képes önmagáról beszélni. Az önhivatkozás – véleménye szerint – szükségszerűen megnyitná az utat az önellentmondások előtt, amelyek az egész matematikát romba döntenék. Hogy elkerülje ezt a végzetes sorsot, kitalált egy bonyolult (és végtelen) hierarchiát, amelynek szintjei oly módon voltak elszigetelve egymástól, hogy biztosan megakadályozzák az önhivatkozás rettegett vírusának behatolását a törékeny rendszerbe – legalábbis ő ezt gondolta.

Néhány évtizednek kellett eltelnie, míg a fiatal osztrák logikatudós, Kurt Gödel rájött, hogy Russell és Whitehead önhivatkozás ellen épített matematikai Maginot-vonalát ügyesen meg lehet kerülni – éppúgy, ahogy a németek a II. világháborúban megkerülték a valódi Maginot-vonalat. Gödel felismerte, hogy az önhivatkozás nemcsak hogy a kezdetektől fogva ott rejtőzött a Principia Mathematicában, hanem teljes mértékben eltávolíthatatlan belőle. Ráadásul Gödel brutálisan világossá tette, hogy a rendszer önhivatkozás által történő „megfertőzése” nem a PM gyengeségéből fakadt, hanem épp ellenkezőleg, az erősségéből. Bármely más hasonló rendszer pontosan ugyanezzel a „hibával” rendelkezett volna. Azért tartott ilyen sokáig ennek a meglepő ténynek a felismerése, mert egy olyasféle ugrástól függött, mint az agy és az én közötti, vagyis az élettelen összetevőkről az élő mintákra történő nevezetes ugrás.

Gödel számára mindez valamikor 1930 körül vált világossá, egy egyszerű, de gyümölcsöző felfedezésének, az úgynevezett „Gödel-számozásnak” köszönhetően. Ez egy olyan leképezési módszer, amelyben bármely formális rendszer szimbólumstringjeinek hosszú, lineáris együttese pontosan tükrözhető bizonyos (általában csillagászatian nagy) egész számok közötti matematikai összefüggésekkel. Gödel az értelmetlen szimbólumok (hogy ismét ezt a kétes szót használjuk) és a hatalmas számok közötti leképezés segítségével megmutatta, hogyan lehet egy formális rendszerről szóló matematikai állítást – például azt, hogy a Principia Mathematica ellentmondásmentes – egy, a rendszeren belül létező számelméleti állítássá átalakítani. Más szóval, bármely metamatematikai állítást be lehet importálni magába a matematikába, ahol az új formájában egyszerűen azt jelenti (a számelmélet összes többi állításához hasonlóan), hogy bizonyos egész számok rendelkeznek bizonyos tulajdonságokkal, vagy bizonyos kapcsolatban állnak egymással. Egy másik szinten azonban az állításnak van egy teljesen eltérő jelentése is, amely olyan távol van egy számelméleti állítástól, mint egy Dosztojevszkij-regényből származó mondat.

Ha a Gödel-leképezést egy olyan formális rendszerre alkalmazzuk, amelyet úgy alkottak meg, hogy „csupán” a számokról szóló igazságokat ontson, akkor akarva-akaratlanul ontani fogja a rendszer saját tulajdonságairól szóló igazságokat is, és ezáltal bizonyos értelemben a rendszer „öntudatra ébred”. A Gödel által feltárt és a PM-et sújtó önhivatkozások közül a legtöményebb dózisokat azok a mondatok rejtették, amelyek saját Gödel-számukról szóltak, és nagyon furcsa dolgokat állítottak magukról, például azt, hogy „Én nem vagyok bebizonyítható a PM-en belül.” Hadd ismételjem meg: az ilyen visszacsavarodás, az ilyen körbehurkolódás, az ilyen önfelfalás messze nem kiküszöbölhető hiba, hanem a rendszer nagyfokú kifejezőerejének elkerülhetetlen mellékterméke.

Nem túl meglepő módon Gödel felismerése, miszerint Russell gondosan megtervezett bástyája, mellyel az önhivatkozást szerette volna megszüntetni, valójában bővelkedik önhivatkozásokban, forradalmi matematikai és filozófiai következményekkel járt. A leghíresebb ilyen következmény a formális matematika úgynevezett „alapvető nemteljessége” lett. Ezt a fogalmat a későbbi fejezetek részletesen tárgyalják, de bármennyire elbűvölő is, a nemteljesség önmagában nem központi jelentőségű a GEB tézise szempontjából. A GEB szerint Gödel munkájának legfontosabb tanulsága az, hogy egy állítás jelentése még egy látszólag értelmetlen univerzumban is messzemenő következményekkel járhat. Emiatt a G Gödel-mondat (vagyis az, hogy „G nem bizonyítható a PM-en belül”) jelentése biztosítja, hogy a G valóban ne legyen bizonyítható a PM-en belül – pontosan ahogyan a G állítja magáról. Olyan ez, mintha a mondat rejtett, gödeli jelentésének valamilyen hatása lenne a rendszer szimbólumkezelési szabályaira, melyek érzéketlenek a jelentésre, és megakadályozná őket abban, hogy előállítsák a G bizonyítását.

Felfordított okság és az „én” megjelenése

Ez a jelenség egy őrülten kifordított, vagyis a feje tetejére állított okság képét tárja elénk. Hiszen azoknak a jelentéseknek, amelyeket az értelem nélküli szimbólumok stringjeiből kiolvashatunk, nem szabadna semmilyen következménnyel járniuk. Még furcsább, hogy a G PM-en belüli bizonyíthatatlanságának egyedüli oka a G önhivatkozása. Valóban, úgy tűnik, hogy a G-nek, amely egy egész számokról szóló igaz állítás, bizonyíthatónak kellene lennie. Ám – köszönhetően annak a további jelentésszintnek, amely szerint az állítás önmagáról szól, és a saját bizonyíthatatlanságát állítja – mégsem bizonyítható.

A gödeli hurok valami egészen furcsát eredményez: a jelentés okozati erejének feltárulását egy szabályok által irányított, de jelentés nélküli univerzumban. Ez az a pont, ahol visszatérek az aggyal és az énnel kapcsolatos analógiámhoz, arra utalva, hogy az én visszacsavarodó hurka, amely egy „agy”-nak nevezett élettelen lámpásban raboskodik, szintén rendelkezik okozati erővel – vagy másként fogalmazva, hogy az „én”-nek nevezett mintázat képes élettelen részecskéket mozgatni az agyban, ugyanúgy, ahogy az agy élettelen részecskéi képesek mintákat mozgatni. Röviden, szerintem egy örvény révén jön létre az „én”, amelyben az agy mintái tükrözik azt, ahogyan az agy tükrözi a világot, és ezek a minták végül önmagukat tükrözik. Ennek következményeként az „én” örvénye valóságos okozati entitássá válik. Ennek a furcsa, elvont jelenségnek egy tökéletlen, de szemléletes analógiája az, ami akkor következik be, ha egy tévékamera egy tévéképernyőre irányul, és a képernyőn megjelenik a képernyő képe (és a képernyőképen magának a képernyőnek a képe, és így tovább). A GEB-ben ezt „önfelfaló televízió”-nak neveztem, míg későbbi írásaimban néha „szinteket keresztező visszacsatolt hurok”-ként hivatkozom rá.

Ha egy ilyen hurok keletkezik – akár az agyban, akár tetszőleges más hordozóközegben –, akkor és csak akkor jön létre egy személy, egy egyedi, új „én”. Továbbá minél gazdagabb ez a hurok az önhivatkozásokban, annál tudatosabb az az én, amelyet létrehoz. Igen, bármilyen meglepően hangzik is, a tudatosság nem egyszerűen egy igen/nem jelenség, hanem fokozatai, árnyalatai vannak. Vagy hogy még egyszerűbben fogalmazzunk: vannak nagyobb és kisebb lelkek.

Kis lelkű emberek, vigyázat!

Nem tehetek róla, de ezen a ponton eszembe jut egyik kedvenc írómnak, James Hunekernek, az amerikai „hétféle művészet kritikusának” egy rendkívül elitista, mégis szellemes megjegyzése. A Frédéric Chopinről írt ragyogó életrajzában az Op. 25, No. 11-es, a-moll etűdről szólva – amely Huneker szerint is, és szerintem is az egyik legmegrázóbb és legfenségesebb zenemű, amit valaha írtak – Huneker ezt mondta: „A kis lelkű emberek kerüljék, bármilyen fürgék is az ujjaik!”

„Kis lelkű emberek”?! Hűha! Ez a kifejezés bizony rendesen szembemegy az amerikai demokrácia alapelveivel! És mégis, ha eltekintünk az eredeti mondat bántó, archaikus szexizmusától{1} – amely hibát, nagy bánatomra, én magam is elkövettem a GEB-ben –, úgy vélem, hogy azért vagyunk hajlandók különféle állatokat megenni, legyeket agyonnyomni, szúnyogokat agyonütni vagy antibiotikumokat bevetni a baktériumok ellen, mert hallgatólagosan mindannyian hiszünk valami olyasfélében, mint Huneker megdöbbentő megkülönböztetése. Általában egyetértünk abban, hogy a tehenek, pulykák, békák és halak rendelkeznek valamiféle tudatosságszikrával, valamilyen primitív „lélekkel”, de az ég szerelmére, ez a lélek jóval kisebb, mint a miénk. És pontosan ez az oka annak, hogy mi, „emberek” úgy érezzük, hogy jogunk van kioltani ezeknek a részleges lélekkel bíró állatoknak a fejében pislákoló fényt, és határtalan étvággyal elfogyasztani egykor meleg és izgő-mozgó, mostanra azonban hideg és dermedt protoplazmájukat – anélkül, hogy bármiféle bűntudatot éreznénk eközben.

De elég a prédikálásból! A lényeg az, hogy nem minden furcsa hurokból születik olyan nagy és pompás lélek, mint az Önöké vagy az enyém, kedves Olvasó. Nem szeretném, ha bárki a GEB elolvasása után úgy távozna, hogy a fejét csóválva szomorúan kijelenti: „Ez a furcsa fickó, Hofstadter, azt hiszi, hogy Russell és Whitehead Principia Mathematicája egy tudatos személy, akinek lelke van!” Badarság! Szamárság! Ostobaság! Gödel furcsa hurka, bár a fogalom kiváló példája, mégis a legcsupaszabb furcsa hurok csupán, amely egy olyan rendszerben létezik, amelynek bonyolultsága elhanyagolható egy szerves agyéhoz képest. Továbbá egy formális rendszer statikus: nem változik vagy fejlődik az időben. Egy formális rendszer nem él más formális rendszerek társaságában, nem tükrözi őket önmagán belül, és őt sem tükrözik a „barátai”. Nos, ezt a megjegyzést részben visszavonom: bármely formális rendszer, amely legalább olyan erős, mint a PM, nemcsak önmaga modelljét, hanem végtelen számú más formális rendszerét is tartalmazza, amelyek némelyike hasonlít rá, némelyike pedig egyáltalán nem. Gödel lényegében ezt ismerte fel. De a formális rendszerekben nincs meg az idő megfelelője, sem a fejlődésé, nem is beszélve a születésről és a halálról.

Így bármit is mondok a matematika formális rendszereiben létrejövő „én”-ekről, azt a megfelelő fenntartással kell kezelni. A furcsa hurkok olyan elvont szerkezetek, amelyek különféle közegekben és különböző fokú gazdagsággal jelennek meg. A GEB lényegében egy hosszú értekezés a furcsa hurkok metaforájáról, amely azt hivatott megmagyarázni, hogyan keletkezik a személyiség. Ez a metafora talán kezdi megértetni velünk, hogy miért tűnik az „én” a saját birtokosa számára annyira valóságosnak és kézzelfoghatónak, ugyanakkor miért marad mégis olyan homályos, kifürkészhetetlen és mélyen elérhetetlen.

Személyesen elképzelhetetlennek tartom, hogy a tudatosság teljes mértékű megértése lehetséges lenne anélkül, hogy a gödeli furcsa hurkokra vagy a szinteket keresztező visszacsatolt hurkokra hivatkoznánk. Ezért meg kell mondanom, hogy meglep és zavar, hogy az elmúlt néhány évben megjelent könyvek szerzői, akik szeretnék megoldani a tudatosság rejtélyeit, ezeket a fogalmakat szinte sohasem említik. Pedig sokuk olvasta és élvezte a GEB-et, de mégsem térnek ki annak alaptézisére. Néha úgy érzem, mintha egy nagyon becses üzenetet kiáltottam volna a pusztába, ahol senki sem hallotta meg.

A GEB legkorábbi kezdeményei

Felmerülhet a kérdés, hogy ha a szerző célja pusztán az volt, hogy bemutassa a furcsa hurkok elméletét mint tudatosságunk lényegét és az elnyomhatatlan „én”-érzésünk forrását, miért írt egy ilyen terjedelmes könyvet, tele látszólagos kitérőkkel? Miért rángatta bele a könyvbe a kánonokat és a fúgákat? Vagy a rekurziót? Vagy a zent? Vagy a molekuláris biológiát? És így tovább…

Az igazság az, hogy kezdetben a leghalványabb elképzelésem sem volt arról, hogy végül ezekről a dolgokról fogok beszélni. Nem is álmodtam volna, hogy a készülő könyvem párbeszédeket fog tartalmazni, főleg nem olyan párbeszédeket, amelyek zenei formákat utánoznak. A projekt bonyolult és ambiciózus jellege csak fokozatosan bontakozott ki, nagyjából a következőképpen:

Korábban említettem, hogy tizenéves koromban olvastam Ernest Nagel és James R. Newman Gödel’s Proof című kis könyvét. Nos, ez a könyv izgalmat és mélységet sugárzott, és úgy hatott rám, hogy kilőtt nyílként tanulmányozni kezdtem a szimbolikus logikát. Így történt, hogy a Stanford Egyetem kezdő matematika szakos hallgatójaként, majd néhány évvel később, rövid életű matematikai doktori tanulmányaim alatt a Berkeley Egyetemen számos felsőfokú logikai kurzust hallgattam meg. Keserű csalódásomra azonban ezek az előadások mind obskúrusak és elvontak voltak, és teljesen nélkülözték azt a varázslatot, amit Nagel és Newman könyvében tapasztaltam. Az lett a vége, hogy ezek az entellektüeleknek szóló kurzusok majdnem kiölték belőlem azt a szenvedélyt, amit tizenéves korom óta éreztem Gödel csodálatos bizonyítása és annak „furcsa hurkai” iránt. Olyan meddőnek és élettelennek éreztem mindezt, hogy 1967 végén, szinte kétségbeesésemben, otthagytam a Berkeley doktori programját, és új fejezetet kezdtem az Oregoni Egyetem fizikadoktori képzésén, Eugene városában. Itt azután a logika és a metamatematika iránti egykor lelkes rajongásom mély álomba merült.

Eltelt néhány év. Aztán 1972 májusában, az Oregoni Egyetem könyvesboltjának polcait böngészve, egyszer csak ráakadtam Howard DeLong A Profile of Mathematical Logic című kiváló könyvére. Megkockáztattam, hogy megveszem, és néhány héten belül feléledt régi rajongásom a gödeli rejtélyek és a velük kapcsolatos dolgok iránt. Gondolatok kezdtek őrült sebességgel kavarogni az álmok és félelmek imbolygó lámpásában.

Az örömöm ellenére nagyon elcsüggesztett az, ahogyan a fizikai tanulmányaim és úgy általában az életem alakult, ezért júliusban az összes holmimat belepakoltam egy tucat kartondobozba, és elindultam hűséges, 1956-os Mercury Quicksilveremmel keleti irányba, keresztül a hatalmas amerikai kontinensen. Hová tartottam? Nem tudtam biztosan. Csak azt tudtam, hogy új életet szeretnék kezdeni.

Miután átkeltem a gyönyörű Cascade-hegységen és Kelet-Oregon sivatagán, eljutottam az Idaho-beli Moscow városába. Az autóm motorjával akadt egy kis probléma, ezért be kellett vinnem egy szervizbe. Kényszerű szabadidőmet az Idahói Egyetem könyvtárában töltöttem. Ott DeLong annotált bibliográfiája alapján utánanéztem néhány Gödel bizonyításáról szóló cikknek. Lefénymásoltam belőlük jó párat, majd egy-két nap múlva továbbindultam Montana és Alberta felé. Minden este megálltam, felállítottam kis sátramat – néha egy erdőben, néha egy tó partján –, és zseblámpám fényénél boldogan elmerültem ezekben a cikkekben, egészen addig, amíg el nem nyomott az álom a hálózsákomban. Kezdtem világosabban érteni a gödeli gondolatokat, és amit tanultam, az egyszerűen lenyűgözött.

Levélből pamflet, pamfletből szeminárium

Néhány napot a kanadai Sziklás-hegységben töltöttem, majd újra dél felé vettem az irányt, és végül megérkeztem a coloradói Boulderbe. Ott történt egy délután során, miközben levelet írtam régi barátomnak, Robert Boeningernek, hogy számos új gondolatom támadt. Néhány órányi írás után észrevettem, hogy a levél hosszabb lett, mint vártam – nagyjából harminc kézzel írott oldal –, és még így is csak a felét mondtam el annak, amit szerettem volna. Ekkor jutott eszembe, hogy talán nem is levelet, hanem egy pamfletet kellene írnom, és Robert a mai napig sem kapta meg a befejezetlen levelet.

Boulderből továbbmentem kelet felé, egyik egyetemi városból a másikba, és végül – mintha végig ez lett volna az úti célom – felbukkant előttem New York City, mint végső állomás. Jó néhány hónapot töltöttem Manhattanben: a City College-ben felsőfokú kurzusokat hallgattam, a Hunter College-ben pedig elemi fizikát tanítottam. Azonban 1973-ra rá kellett döbbennem, hogy bár sok szempontból szeretem New Yorkot, az életem itt még zaklatottabb, mint Eugene-ben volt, ezért úgy döntöttem, bölcsebb lesz visszatérni Oregonba, és ott befejezni a doktori tanulmányaimat.

Bár a remélt „új életem” nem vált valóra, bizonyos szempontból megnyugtató volt visszatérni. Az Oregoni Egyetemen akkoriban egy felvilágosult rendszer működött: a közösség bármely tagja indíthatott kreditértéket érő „SEARCH” kurzust, ha egy vagy több tanszék támogatta az ötletet. Így hát kérvényeztem a filozófia és a matematika tanszéknél, hogy támogassák a Gödel tételére épülő tavaszi „SEARCH” kurzusomat, és a kérelmemet elfogadták. A dolgok kezdtek jó irányba fordulni.

Úgy éreztem, hogy a furcsa hurkok iránti személyes rajongásom – nemcsak filozófiai jelentőségük, hanem esztétikai vonzerejük miatt is – nem csupán az én különc mániám, hanem másokat is könnyen magával ragadhat, ha sikerül megértetnem a diákjaimmal, hogy ezek a fogalmak egyáltalán nem olyan unalmasak vagy szárazak, mint azok a rideg, meddő logikai kurzusok, amelyeket korábban hallgattam. Éppen ellenkezőleg – ahogyan arra Nagel és Newman is rámutattak –, szoros kapcsolatban állnak a matematika, a fizika, a számítástechnika, a pszichológia, a filozófia, a nyelvészet és más tudományterületek számos mély és gyönyörű gondolatával.

A tanfolyamnak azt a félig bolondos, félig romantikus címet adtam, hogy „Az eldönthetetlen rejtélye”, remélve, hogy ezzel a legkülönfélébb területekről sikerül odavonzanom a diákokat. A trükk bevált: huszonöt hallgató jelentkezett, és mindegyikük lelkesedett a témáért. Élénken emlékszem a tavaszi előadások alatt az ablakokból látható gyönyörű virágzó fákra, de még jobban emlékszem három különleges hallgatóra: David Justmanre, aki művészettörténetet tanult, Scott Bureshre, aki politikatudományt hallgatott, és Avril Greenbergre, aki képzőművészeti szakon volt. Ez a három diák egyszerűen falta a gondolatokat, és végeláthatatlan beszélgetéseket folytattunk. A tanfolyam így mind a résztvevők, mind az oktató számára nagy siker lett.

1973 nyarán megpróbáltam felvázolni a „pamfletem” tartalomjegyzékét. Ekkor kezdtem sejteni, milyen nagyszabású feladat vár rám, de még mindig inkább pamfletként, mint könyvként gondoltam rá. Csak ősszel kezdtem el komolyan dolgozni rajta. Soha nem írtam még néhány oldalnál hosszabb művet, de bátran belevágtam, mert azt gondoltam, hogy néhány nap, legfeljebb egy-két hét alatt elkészülök vele. Kissé tévedtem, mert az első változat elkészítése (melyet tollal írtam, akárcsak a Robertnek szánt levelet, de több kihúzással) körülbelül egy hónapot vett igénybe. Ez az időszak részben egybeesett a „jom kippuri háború”-val, amely nagyon mély benyomást tett rám. Tudtam, hogy ez az első változat még nem a végleges mű, de úgy éreztem, elvégeztem a munka dandárját, és már csak a javítások maradtak hátra.

Az irodalmi formákkal kapcsolatos kísérletek kezdetei

Az első változat írásakor egyáltalán nem gondoltam sem Escher képeire, sem Bach zenéjére. De egyszerre csak lázba hoztak az elmével, az aggyal és az emberi önazonossággal kapcsolatos gondolatok, és minden különösebb lelkiismeret-furdalás nélkül beemeltem a könyvembe Lewis Carroll furcsa párosát, Akhilleuszt és a Teknőst, akiknek mulatságos személyisége végtelenül szórakoztatott. Rendkívül lelkesen fogtam hozzá egy hosszú, bonyolult párbeszédhez, amely egy képzeletbeli, hihetetlenül nagy könyvről szólt. Ennek a könyvnek a lapjai az Einstein agyában található egyes neuronok teljes leírását tartalmazták. A párbeszédben volt egy rövid rész, ahol a két szereplő azt képzelte, hogy a másik egy újabb párbeszéd résztvevője, és ilyeneket mondtak: „Akkor ön azt mondhatná, hogy… amire én így válaszolhatnék… majd ön azzal folytathatná, hogy…”, és így tovább. E szokatlan szerkezeti jellemző miatt, miután kitettem a végső pontot a párbeszéd utolsó mondatának végére, visszalapoztam az első oldalra, és puszta szeszélyből egyetlenegy szót gépeltem oda: „FÚGA”.

Az Einstein-könyvről szóló párbeszédem persze nem volt igazi fúga – még csak meg sem közelítette azt –, de valahogy mégis arra emlékeztetett. Bach zenéje gyermekkorom óta mély hatással volt rám, és teljesen magával ragadott az a merész ötlet, hogy Bach-szerű ellenpontozott formákat egyesítsek élénk, intellektuálisan gazdag párbeszédekkel. Miközben meghánytam-vetettem magamban a dolgot, rájöttem, hogy mennyi játékosság rejlik benne, és elképzeltem, milyen mohón faltam volna az ilyen párbeszédeket tizenéves koromban. Így jutottam arra a gondolatra, hogy időnként ellenpontozott párbeszédeket illesszek be, részben azért, hogy megtörjem a fejezetek komoly gondolatainak a monotóniáját, részben pedig azért, hogy a mély és nehezen érthető fogalmakat könnyedebb, allegorikus formában mutathassam be.

A dolognak az lett a vége, hogy – sok hónapnyi töprengés után – eldöntöttem: az optimális szerkezet a fejezetek és a párbeszédek szigorú váltakozása lesz. Miután ez világossá vált, már csak az az örömteli feladat volt hátra, hogy kiemeljem azokat a legfontosabb gondolatokat, amelyeket szeretnék megosztani az olvasóimmal, majd ezeket valahogyan tartalmilag és formailag is beépítsem azokba a fantáziadús, gyakran szójátékokkal teli párbeszédekbe, amelyek Akhilleusz és a Teknős (plusz néhány új barátjuk) között zajlanak.

A parkolópályára tett, majd újra felpörgetett GEB

1974 elején negyedszer, egyben utoljára váltottam PhD-témavezetőt. Egy teljesen ismeretlen szilárdtest-fizikai problémába vágtam bele, amely rendkívül csábító volt, ugyanakkor komoly nehézségekkel fenyegetett. Új témavezetőm, Gregory Wannier azt akarta, hogy mélyedjek bele a témába, én pedig éreztem, hogy ez az utolsó esélyem: vagy megtanulok úszni a fizika világában, vagy elmerülök. Ha meg akartam szerezni a PhD-met – egy becses, de rettentően csalóka célt, melyért akkor már majdnem egy évtizede küzdöttem –, akkor most vagy soha! Így hát vonakodva, de eltettem szeretett kéziratomat egy íróasztalfiókba, és megfogadtam: „El a kezekkel! Még csak bele sem nézhetsz!” Még ételmegvonással is büntettem magam, ha csak kinyitottam a fiókot, és végiglapoztam a készülő könyvem lapjait. A GEB-es – pontosabban a GTÉAEA-s{2} – gondolatok szigorúan verboten{3} voltak.

Apropó, német: Wannier 1974 őszén hat hónapra Németországba készült, és mivel mindig is szerettem Európát, megkérdeztem tőle, van-e valamilyen mód arra, hogy vele menjek. Nagyon kedvesen elintézte, hogy a Regensburgi Egyetem (Universität Regensburg) fizika tanszékén wissenschaftlicher Assistent{4} – lényegében tanársegéd – lehessek. Így az 1974 vége és 1975 eleje közötti szemesztert Regensburgban töltöttem tanársegédként. Ebben az időszakban dolgoztam ki a PhD-disszertációm legnagyobb részét. Mivel nem voltak közeli barátaim, regensburgi napjaim és éjszakáim nagyon hosszúak és magányosak voltak. Egy sajátos értelemben ebben az időszakban Frédéric Chopin lett a legjobb barátom, mert majd minden éjfélkor a Varsói Rádió hullámhosszán különféle zongoristák előadásait hallgattam. Ők számos, általam már ismert és szeretett Chopin-művet játszottak, valamint olyanokat, amelyeket akkor hallottam először, és amelyeket azóta megszerettem.

Ez az egész GEB-verboten időszak 1975 végéig tartott, amikor végre befejeztem a disszertációmat. Ez a munka egy csodaszép vizuális szerkezetről szólt (lásd a jelen könyv V. fejezetét), és ígéretes ugródeszkának tűnt a további karrierem szempontjából – de addigra a doktorképző annyira megtépázta az egómat, hogy már nem hittem, hogy jó fizikus válhat belőlem. Ugyanakkor a régi intellektuális szenvedélyek újjáéledése, és különösen a GTÉAEA írása egy teljesen újfajta magabiztosságot adott nekem.

Bár munkanélküli voltam, nagyon lelkes maradtam. Szülővárosomba, Stanfordba költöztem, és ott, a szüleim fenntartások nélküli és nagylelkű anyagi támogatásának köszönhetően (amit tréfásan „kétéves Hofstadter-ösztöndíj”-nak neveztem), nekiláttam, hogy „újrahangoljam” magam a mesterséges intelligencia kutatására. Még ennél is fontosabb azonban, hogy újrakezdhettem szenvedélyes viszonyomat azokkal a gondolatokkal, amelyek néhány évvel korábban annyira magukkal ragadtak.

Stanfordban kivirágzott a hajdani „pamfletem”. Az elejétől a végéig újraírtam, mert úgy éreztem, hogy bár korábbi vázlataim a helyes gondolatokra fókuszáltak, kiforratlanok és stílusukban következetlenek voltak. Abban a kivételes luxusban volt részem, hogy használhattam a világ egyik legelső és legjobb szövegszerkesztő programját, új barátom, Pentti Kanerva rendkívül rugalmas és felhasználóbarát TV-Editjét. Ennek a programnak köszönhetően az új változat írása gördülékenyen haladt. El sem tudom képzelni, hogyan lehetett volna megírni a GEB-et nélküle.

A könyv szokatlan stílusjegyei csak ebben a fázisban bontakoztak ki igazán – a néha bugyuta szójátékok, a zenei szerkezeteket utánzó új nyelvi formák, az analógiák széles tárháza, valamint az olyan történetek, ahol maguk a szerkezetek szolgálnak példaként az általuk tárgyalt gondolatokra. Mindehhez járultak a különleges helyszíneken feltűnő furcsa személyiségek. Írás közben már tudtam, hogy ez a könyv egészen más lesz, mint a hasonló témájú könyvek, és hogy számos hagyományos szabályt megszegek. Mégis lelkesen folytattam, mert biztos voltam benne, hogy amit csinálok, annak egyszerűen meg kell születnie, és hogy abban, amit alkotok, belső igazság rejlik. Az egyik kulcsfontosságú dolog, ami miatt ennyire hittem abban, amit csinálok, az volt, hogy könyvemben a tartalom és a forma egyenrangú szerepet kapott – és ez nem véletlen, hiszen a GEB nagy része arról szól, hogy a tartalom mennyire elválaszthatatlan a formától, a szemantika mennyire egybeforr a szintaxissal, és hogy milyen kibogozhatatlan kapcsolatban állnak egymással az anyag és a mintázatok.

És bár mindig is tudtam magamról, hogy az élet számos területén a forma éppoly fontos számomra, mint a tartalom, soha nem gondoltam volna, hogy első könyvem írása során ennyire elmerülök majd a vizuális megjelenés minden apró részletében. A TV-Edit könnyű kezelhetősége lehetővé tette, hogy amit írtam, azt folyamatosan finomítsam, hogy jobban mutasson a képernyőn. Egykor luxusnak számított volna egy szerző számára az ilyen mértékű kontroll, de annyira hozzászoktam a programhoz, hogy nem szívesen váltam volna meg tőle. Mire a kéziratom elérte azt az állapotot, hogy elküldhettem a kiadóknak, a vizuális tervezés és az elvi felépítés már elválaszthatatlanul összefonódott.

A clarioni hívás

Gyakran kérdezték tőlem, hogy szerzőként, ráadásul egy szokatlan, furcsa című kézirat ismeretlen szerzőjeként meg kellett-e küzdenem a könyvkiadás monolitikus, kockázatkerülő világával? Nos, lehet, hogy szerencsém volt, de az én tapasztalataim sokkal kedvezőbbek voltak.

1977 közepén, mintegy tapogatózásként, tizenöt neves kiadónak elküldtem a kézirat egy kis részletét. A legtöbbjük udvariasan azt válaszolta, hogy ez „nem az a fajta dolog”, amivel foglalkoznak – ez rendben is volt. De három-négy kiadó jelezte, hogy szívesen látna belőle többet, így sorban elküldtem nekik az egészet. Természetesen csalódott voltam, amikor az első kettő visszautasította, különösen, mert a bírálati folyamat hónapokig tartott, ami frusztráló időveszteséget jelentett. Ugyanakkor nem csüggedtem túlságosan. Karácsony táján aztán az általam mindig is nagyra becsült Basic Books kiadó igazgatója, Martin Kessler biztató – bár még bizonytalan – jeleket adott.

1977–78 telén az Indianai Egyetem kezdő tanársegédje voltam. A tél annyira hideg volt, hogy az egyetem kifogyott a fűtéshez szükséges szénből, és márciusban három hétre be kellett zárni az egyetemet, amíg be nem köszöntött a melegebb idő. Úgy döntöttem, ezt a váratlan szabadidőt arra használom, hogy autóval elutazom New Yorkba és dél felé, hogy meglátogassam régi barátaimat. Bár az emlékeim sokszor homályosak, kristálytisztán megmaradt bennem, hogy rövid időre megálltam egy piszkos kis falatozóban a pennsylvaniai Clarionban. Innen, egy hideg telefonfülkéből hívtam fel Martin Kesslert New Yorkban, hogy megtudjam, született-e már döntés. Életem egyik nagy pillanata volt, amikor azt mondta, hogy „örömmel” dolgozna velem. Szinte hátborzongató visszagondolni arra, hogy ez a kulcsfontosságú esemény éppen itt, Clarionban,{5} ebben a találó nevű falucskában történt.

A gorgók bosszúja

Most, hogy már volt kiadóm, felmerült a kérdés, hogyan lehetne a kezdetleges számítógépes listákat egy szépen szedett könyvvé konvertálni. Nagy szerencsémre Pentti a TV-Edit bővítéseként épp akkor fejlesztette ki a világ egyik első számítógépes szedőrendszerét, és erősen biztatott, hogy azt használjam. Kessler, az örök kalandor, szintén szívesen kipróbálta volna a rendszert. Részben azért, mert így a Basic Books költségeket takaríthatott meg, de azért is, mert természeténél fogva okos kockázatvállaló volt.

A csináld-magad szedés számomra ugyan nagy áttörés volt, de közel sem volt gyerekjáték. Akkoriban a számítástechnika sokkal kezdetlegesebb volt, mint manapság. Ahhoz, hogy Pentti rendszerét használhassam, minden egyes fejezetbe és párbeszédbe szó szerint ezernyi titokzatos szedési utasítást kellett beszúrnom. Ezután minden számítógépes állományt öt-hat kisebb részre kellett szétvágnom, és minden rész esetében két különböző számítógépes programot kellett lefuttatnom. Az így kapott kimeneti állományokat lyukszalagra kellett kivinnem. Nekem kellett átsétálnom a 200 méterre lévő épületbe, ahol a lyukszalaglyukasztó volt, betöltenem a lyukszalagot, és gondosan figyelnem, nehogy a lyukszalag elakadjon.

Ezután az olajos tapintású lyukszalagokat egy 400 méterre lévő épületbe kellett átvinnem, ahol a The Stanford Dailyt nyomtatták. Ha a fotószedőgépük éppen szabad volt, akkor használhattam. A folyamat hosszú és bonyolult volt: a szöveg a kazettákban lévő fényérzékeny papírra került, majd a fotópapírt sötétkamrában különféle kémiai fürdőkön kellett átvezetni. A görgők eltávolították róla az előhívó oldatot, és a másfél méter hosszú kefelevonatokat egy-két napra ruhaszárító kötelekre kellett felakasztani, hogy megszáradjanak. Ténylegesen láthattam az ezernyi szedési utasítás eredményét, de a folyamat hihetetlenül nehézkes és lassú volt. Bevallom azonban, hogy mindez nem zavart; sőt titokzatosnak, különlegesnek és izgalmasnak találtam az egészet.

De egy napon, amikor már szinte az összes kefelevonat elkészült – nagyjából két-háromszáz darab –, és azt hittem, hogy végre szabad vagyok, szörnyű felfedezést tettem. Az előhívó fürdőből frissen kikerült kefelevonatokon a szöveg szénfekete volt, de ahogy átnéztem néhányat, amelyek korábban száradtak meg, barnás árnyalatot láttam rajtuk. Mi a csoda?! Amikor megnéztem a még régebbi kefelevonatokat, láttam, hogy a szöveg már világosbarnára fakult rajtuk, és néhányon már narancssárgára, sőt sárgára vált!

Nem hittem a szememnek. Hogyan történhetett ez meg? Teljesen tehetetlen és dühös lettem, amikor megtudtam a magyarázatot: az elöregedett görgők – mivel egyenetlenül koptak – már nem törölték le megfelelően a folyadékot a kefelevonatokról, így a sav idővel fokozatosan feloldotta a fekete festéket. A Daily esetében ez nem jelentett gondot, hiszen ott a kefelevonatokat néhány órán belül kidobták, de egy könyv esetében ez maga volt a katasztrófa. Sárga kefelevonatokból lehetetlen könyvet nyomtatni! Azok a fénymásolatok, amelyeket még friss korukban készítettem róluk, élesek voltak ugyan, de nem eléggé. Micsoda rémálom! Rengeteg munka ment veszendőbe. Úgy éreztem magam, mint egy csatár, aki lesre futott, és nem lőheti kapura a labdát.

1978-ban szinte az egész nyaramat a kefelevonatok előállításával töltöttem, de az ősz egyre közeledett, és vissza kellett térnem Indianába tanítani. Mit tegyek? Hogyan menthetném meg a GEB-et? Az egyetlen megoldásnak az tűnt, ha minden hétvégén a saját költségemen visszarepülök Stanfordba, és a nulláról kezdve ismét elvégzem az egész munkát. Szerencsére csak kedden és csütörtökön voltak óráim, így minden csütörtökön, miután befejeztem az oktatást, gyorsan repülőre szálltam. Stanfordba érkezve hétfő délutánig megállás nélkül dolgoztam, majd rohantam a repülőtérre, hogy időben visszaérjek Indianába. Sohasem felejtem el az egyik ilyen hétvégét, amikor egyetlen percnyi alvás nélkül negyven órán át dolgoztam. Ha ez nem szerelem, akkor nem tudom, mi az!

De ennek a kálváriának volt egy előnye is: sikerült kijavítanom a kefelevonatok első verziójában található összes szedési hibát. Az eredeti terv szerint a javításokhoz rengeteg további kefelevonatot kellett volna készíteni, amelyeket a Basic Books New York-i irodájában apró darabokra vágtak volna, hogy a hibás részeket kicseréljék velük. És az első verzióban bizony rengeteg hiba volt. Ha ezt a módszert követtük volna, akkor valószínűleg hibák százai maradtak volna a könyvben. Azonban annak köszönhetően, hogy kénytelen voltam a kapu előtt néhány méterre megállni, most lehetőségem nyílt az összes hibát kijavítani, és majdnem makulátlan kefelevonatokat előállítani. Így, bár a kémiai katasztrófa hónapokkal késleltette a GEB tényleges kinyomtatását, utólag kiderült, hogy rejtett áldással járt.

Hoppá…

Az évek során természetesen számos gondolat versengett azért, hogy bekerülhessen az alakuló könyvbe – némelyik bejutott, mások viszont nem. Ironikus módon az az Einstein-párbeszéd, amelynek „fúgaszerűsége” ihlette a későbbi párbeszédeket, végül kimaradt.

Egy másik hosszú és bonyolult párbeszédet szintén kihagytam – pontosabban szinte a felismerhetetlenségig átalakítottam. Ennek a különös történetnek azokhoz az intenzív belső vívódásaimhoz volt köze, amelyek akkoriban a tudatomban zajlottak.

1970-ben az oregoni diákszövetségben olvastam néhány röpcédulát a szexista nyelvhasználatról és annak alattomos, tudat alatti hatásairól. Hirtelen teljesen ráébredtem, hogy az olyan általánosan használt szavak, mint a he és a man (és számos hasonló kifejezés) miként alakítják ki azt az érzést, hogy milyen egy „normális” emberi lény, és mik számítanak „kivételnek”. Örömmel fogadtam ezt az új szemléletet. De ekkoriban még nem voltam író – csupán fizikushallgató –, és ezek a kérdések a saját életemben nem tűntek különösebben lényegesnek. Amikor azonban elkezdtem párbeszédeket írni, a helyzet megváltozott. Egy idő után feltűnt, hogy párbeszédeim szereplői – Akhilleusz, a Teknős, a Rák, a Hangyász és néhány további mellékszereplő – kivétel nélkül mind hímneműek. Megdöbbentett, hogy én is áldozatul estem azoknak a tudattalan nyomásoknak, amelyek a női szereplők megjelenése ellen hatottak. Ennek ellenére amikor azzal a gondolattal játszottam, hogy utólag „nemváltó műtétet” hajtsak végre egyik-másik szereplőmön, ez mélységesen zavart. De miért?

Nos, csak annyit tudtam mondani magamnak: „A női szereplők bevonása szükségszerűen magával hozná a szexualitás egész zavaros világát a lényegében tisztán elvont párbeszédekbe, ami elterelné a figyelmet a könyvem fő céljairól.” Ez az értelmetlen nézetem a nyugati civilizáció akkori (és részben még ma is fennálló) hallgatólagos feltételezéseiből fakadt, és azokat tükrözte. Amint azonban rákényszerítettem magam, hogy szembenézzek ezzel a rémes hozzáállással, egy igazi csata bontakozott ki bennem: az egyik felem amellett érvelt, hogy néhány szereplőt utólag nővé alakítsak, míg a másik ragaszkodott a status quo fenntartásához.

Ebből a belső csatából egyszer csak egy hosszú és meglehetősen szórakoztató párbeszéd született, amelyben különféle szereplőim, miután rájönnek, hogy mindannyian hímneműek, azon kezdenek el töprengeni, hogy ennek mi lehet az oka. Végül arra a következtetésre jutnak, hogy bár úgy érzik, van szabad akaratuk, valójában csak szereplők egy szexista hímnemű szerző fejében. Valahogy sikerül megidézniük ezt a Szerzőt a párbeszédükbe – és mit tesz a Szerző, amikor szexizmussal vádolják? Azt állítja, hogy ártatlan, és kijelenti, hogy nem tehet arról, ami az agyában zajlik – a szexizmus bűnét egy szexista Istenre hárítja. És természetesen ezután Isten is megjelenik a párbeszédben – és találják ki, mi történik? Kiderül, hogy Isten nő (hahaha). Nem emlékszem pontosan, hogy ezt követően hogyan folytatódott a párbeszéd, de a lényeg az, hogy sokat tépelődtem, és a magam módján próbáltam megbirkózni ezekkel a bonyolult kérdésekkel.

Sajnos – pontosabban annak az énemnek a szempontjából sajnos, akivé az ezt követő években váltam – a szexista oldal nyerte meg a csatát, és csak néhány engedményt tettem a másik oldal javára (például a Kis harmóniai labirintus-ban a dzsinnek tornya vagy a Prelúdium… Hangyafúgában Bolyai néni). A GEB olyan könyv maradt, amelynek szövetébe mély szexista elfogultság szövődött. Érdekes módon ezt az elfogultságot nagyon kevés férfi vagy női olvasó vette észre (ami alátámasztja azt a hitemet, hogy ezek a dolgok rendkívül finoman és alattomosan hatnak, és szinte mindenki figyelmét elkerülik).

A man (ember) és he (ő) általános alany használata már akkor sem tetszett, és igyekeztem elkerülni őket, amikor csak lehetett (vagy inkább, amikor könnyű volt), de nem különösebben foglalkoztam azzal, hogy teljesen kiirtsam ezeket a kifejezéseket a szövegből. Ennek eredményeként a könyv lapjain itt-ott megtalálhatók a szexizmus ezen nyilvánvalóbb, explicit formái is. Ma már összeborzadok, amikor olyan mondatokkal találkozom a GEB-ben, amelyek az olvasóra a hímnemű he névmással hivatkoznak, vagy amelyek az emberiségről úgy beszélnek, mintha az csupa nagy darab, absztrakt férfiból állna. Azt hiszem, a jó pap holtig tanul.

És végül, ami azt a párbeszédet illeti, amelyben Akhilleusz és társai megidézik a Szerzőt és Istent, hogy szembesítsék őket a szexizmus vádjával, nos, ez a párbeszéd sok-sok apró változtatás után valahogy a GEB záró párbeszédévé alakult át: Hatszólamú ricercar. Ha valaki úgy olvassa, hogy tudja, milyen körülmények között született, talán még inkább felkelti az érdeklődését.

Teknős úr, ismerkedjen meg Madame Tortue-vel

Néhány év múlva teljesen váratlan lehetőség adódott arra, hogy legalább részben jóvátegyem a szexista bűnömet. Ezt a lehetőséget a GEB fordításai teremtették meg.

A könyv írásakor meg sem fordult a fejemben, hogy valaha más nyelveken is megjelenhet. Nem tudom, miért nem, hiszen mindig is szerettem a nyelveket és a fordítást, de valahogy ez mégsem jutott eszembe. Amikor azonban a kiadóm felvetette a lehetőséget, rendkívül fellelkesedtem, mert nagyon szerettem volna más nyelveken is látni a könyvemet, különösen olyanokon, amelyeken magam is beszéltem valamelyest – leginkább franciául, mivel ezt a nyelvet folyékonyan beszélem, és nagyon szeretem.

Egy lehetséges fordításnál millió dologra kell figyelni, mert a könyv nemcsak szójátékokkal van tele, hanem „szerkezeti viccekkel” is, ahogyan azt Scott Kim megfogalmazta. Ezek olyan részek, amelyekben a tartalom és a forma valamilyen váratlan módon visszatükrözi vagy erősíti egymást – gyakran bizonyos angol szavak szerencsés egybeeséseinek köszönhetően. Az ilyen bonyolult közeg-üzenet összefonódások miatt aprólékosan végigmentem a GEB minden egyes mondatán, és megjegyzésekkel láttam el a lehetséges célnyelvek fordítói számára. Ez a megszakításokkal végzett munka körülbelül egy évig tartott, de végül elkészültem vele, és épp időben, mert 1982 táján gyors egymásutánban érkeztek a szerződések a külföldi kiadóktól. Akár egy rövidebb könyvet – egy pamfletet? – is írhatnék a GEB fordítása során felmerült furcsa, szórakoztató és fogós feladványokról és dilemmákról, de itt csak egyet említek: hogyan lehet visszaadni a látszólag egyszerű „Teknős úr” kifejezést franciául.

Amikor 1983 tavaszán Jacqueline Henry és Bob French, a könyv két kiváló francia fordítója nekilátott a párbeszédek fordításának, azonnal beleütköztek abba az ellentmondásba, amelyet a tortue francia főnév nőneműsége és a szereplőm, a Teknős hímnemű volta okozott. Egyébként fájó szívvel kell megjegyeznem, hogy abban a csodás, de kevéssé ismert Lewis Carroll-párbeszédben, amelyből kölcsönöztem ezt a két bűbájos szereplőt (és amely a GEB-ben Kétszólamú invenció címmel található meg), a Teknős neméről alapos vizsgálat után kiderül, hogy határozatlan. De amikor először olvastam ezt a párbeszédet, fel sem merült bennem ez a kérdés. Számomra nyilvánvaló volt, hogy egy hímnemű teknősről van szó. Máskülönben nemcsak azt tudtam volna, hogy nőnemű, hanem azt is, hogy miért nőnemű. Végül is egy nőnemű szereplő csak valamilyen különleges indokkal szerepelhet, nemde? Míg egy „semleges” kontextusban (például filozófiai szövegben) a hímnemű szereplők létezéséhez nincs szükség külön indoklásra, a nőneműek esetén ez nem így van. És mivel a Teknős nemére semmilyen utalást sem találtam, gondolkodás nélkül és kritikátlanul hímneműnek képzeltem. Így járja át a szexizmus csendben a jó szándékú, de erre fogékony elmét.

De térjünk vissza Jacqueline-re és Bobra! Noha egyszerűen átvághatták volna a gordiuszi csomót azzal, hogy kitalálnak egy „Monsieur Tortue” nevű szereplőt, ez az út szerintük franciául nagyon erőltetettnek tűnt. Ezért az egyik levelezésünk során nagyon óvatosan megkérdezték tőlem, megengedném-e, hogy a Teknős nemét nőneműre változtassák. Természetesen azt feltételezték, hogy egy ilyen javaslatot az író még csak válaszra sem méltat, de az igazság az, hogy amint elolvastam az ötletüket, mindjárt lelkesen lecsaptam rá. Ennek eredményeként a francia GEB lapjait Madame Tortue friss és fantasztikus figurája gazdagítja, aki perverz intellektuális köröket ró hímnemű társa, Akhilleusz, a hajdani görög harcos és amatőr filozófus körül.

Volt valami elbűvölő „a Teknős” eme új elképzelésében, és nagyon örültem neki. Különösen szórakoztatóak voltak azok a kétnyelvű beszélgetések, amelyeket a Teknősről folytattam. Ezekben angolul kezdtem el beszélni, a he névmást használva, majd franciára váltottam, és ott az elle névmást használtam. Mindkét névmás teljesen természetesnek tűnt, és úgy éreztem, hogy mindkét nyelven ugyanarra a „személyre” utalok. Így aztán vicces módon ugyan, de hűek maradtunk Carroll teknősének nemi semlegességéhez.

Majd jött az olasz fordítás – mellesleg az olasz nyelvet is imádom, és egész jól beszélem –, amely megduplázta az örömömet. Az olasz fordítók úgy döntöttek, hogy követik a francia példát, és az én „Teknős uram”-ból „signorina Tartaruga” (Teknős kisasszony) lett. Természetesen ezek a gyökeres változtatások semmilyen módon nem befolyásolják a GEB kizárólag angolul olvasó közönségének a könyvről alkotott képét, de bizonyos értelemben segítenek kompenzálni az évekkel korábban zajlott belső csatám kétes végeredményét.

Zen buddhizmus, John Cage és stílusos irracionalitásom

A francia fordítást összességében nagyon kedvezően fogadták. Különösen örömteli pillanat volt mind számomra, mind a fordítók, Bob és Jacqueline számára, amikor a legtekintélyesebb francia napilap, a Le Monde egész oldalas, ragyogó kritikát közölt Jacques Attali tollából. A cikk nemcsak a könyvet méltatta gondolataiért és stílusáért, hanem külön kiemelte és dicsérte a fordítást is.

Néhány hónappal később a Francia Szabadkőművesek Társasága által kiadott Humanisme című, kevéssé ismert folyóirat két egymást követő számában is megjelent két kritika. Mindkettőt egyetlen szerző, Alain Houlou írta. Érdeklődve kezdtem bele az olvasásukba. Az első kritika meglehetősen hosszú volt, és a Le Monde-hoz hasonlóan csak dicsérte a könyvet. Örömmel töltött el, és hálás voltam érte.

Aztán áttértem a második kritikára, amely ezzel a költői frázissal kezdődött: „Après les roses, les épines…” {6} Nagy ámulatomra ez a kritika több oldalon keresztül darabokra szedte a GEB-et. A könyvet „un piège très grave”-ként („egy nagyon veszélyes csapda”-ként) emlegette, amelyben szerinte a zen buddhizmus értelmetlen divathóbortjának hódoltam. A kritika azzal vádolt, hogy vadul tudományellenes, beatnikhatású, hippiszerű irracionalitást propagáltam, mint a megvilágosodás legfőbb útját, ami jellemző az amerikai fizikusokra, és mindennek védőszentjéül a tekintélyromboló, zenkedvelő amerikai zeneszerzőt, John Cage-et tettem meg.

Csupán kuncogni tudtam, és zavartan széttártam a karomat ezeknek a Tati-szerű „vacarmes de monsieur Houlou”-nak{7} a hallatán. Ez a kritikus úgy vélte, hogy én az egekig magasztalom Cage-et („Gödel, Escher, Cage”?), és a zenre tett szemérmes utalásaimból, valamint az onnan kölcsönzött apró elemekből azt a következtetést vonta le, hogy kritikátlanul elfogadom a zent. Ez azonban egyáltalán nem tükrözte az álláspontomat. Ahogy a IX. fejezet elején kijelentem, a zent nemcsak zavarosnak és ostobának találom, hanem mélyebb szinten teljesen ellentétesnek mindazzal, amiben hiszek. Ugyanakkor a zen ostobaságát – különösen, amikor igazán ostobává válik – rendkívül szórakoztatónak és még üdítőnek is tartom. Egyszerűen élveztem, hogy a nagyon is nyugati szemléletű „főztömet” egy kis keleti fűszerrel ízesíthettem. De az, hogy itt-ott egy kevés zent szórtam bele, nem jelenti azt, hogy báránybőrbe bújt zen szerzetes lennék.

John Cage-et illetően egészen biztos voltam benne – egészen addig, amíg el nem olvastam Houlou furcsa hátraarcát –, hogy a Kánon intervallumnöveléssel című párbeszédemben és az azt követő fejezetben egyértelműen, bár tiszteletteljesen kigúnyoltam Cage zenéjét. De várjunk csak, várjunk! A „tiszteletteljes kigúnyolás” nem jelent önmagában ellentmondást? Nem egyértelműen lehetetlen dolog ez? És az ilyen szemérmes flörtölés az önellentmondással és a paradoxonokkal nem pontosan azt bizonyítja-e – ahogy Houlou állítja –, hogy mélyen belül valóban tudományellenes és zenpárti vagyok? Nos, legyen.

Még ha úgy is érzem, hogy a könyvemet épp annyian félreértik, mint ahányan megértik, az olvasóközönség száma vagy lelkesedése miatt nem panaszkodhatok. Az eredeti, angol nyelvű GEB rendkívül népszerű volt, és ma is az. A fordításai szintén felkerültek a bestsellerlistákra – legalábbis Franciaországban, Hollandiában és Japánban. A német GEB 1985-ben, J. S. Bach születésének 300. évfordulóján öt hónapon át vezette az ismeretterjesztő irodalom bestsellerlistáját, amit kicsit abszurdnak érzek. De ki tudja – talán az évforduló, no meg a borítón szereplő német nevek döntően hozzájárultak a GEB népszerűségéhez Németországban. A GEB-et ezenkívül spanyolra, olaszra, magyarra, svédre és portugálra is lefordították, és – talán váratlanul – nagy virtuozitással kínaira is. Egy orosz változat is teljesen elkészült már, és csupán kiadóra vár. Mindez messze meghaladja az eredeti várakozásaimat, bár nem tagadhatom, hogy írás közben, különösen a mámorító stanfordi napokban egyre inkább úgy éreztem, hogy a GEB nagy szenzáció lesz.

Későbbi intellektuális utam: az első évtized

Amióta két évtizede a GEB nyomdába került, valahogy mindig sikerült elfoglalni magam. Egy kiváló posztgraduális hallgatókból álló csoporttal azon dolgoztam, hogy számítógépes modelleket fejlesszünk ki az analógia és a kreativitás mögött meghúzódó mentális mechanizmusok megértésére. Emellett írtam néhány további könyvet is, amelyekről itt teszek néhány rövid megjegyzést.

Az első ezen könyvek közül egy 1981 végén megjelent antológia volt, The Mind’s I, amelyet új barátommal, Daniel Dennett filozófussal közösen szerkesztettünk. Célunk, amely szorosan kapcsolódott a GEB céljaihoz, az volt, hogy olvasóinkat rendkívül szemléletes és akár megrázó módon szembesítsük az emberi létezés egyik alapvető talányával: azzal a mély és szinte kitörölhetetlen érzéssel, hogy rendelkezünk egy egyedi „én”-nel. Ez az „én” mintha túllépne fizikai testünkön, és rejtélyes módon lehetővé tenné számunkra egy „szabad akarat”-nak nevezett dolog gyakorlását, miközben valójában sosem tudjuk pontosan, hogy mi is ez a szabad akarat. Dan és én számos kiváló író történeteit és párbeszédeit válogattuk össze, és számomra az egyik legnagyobb öröm az volt, hogy végre nyomtatásban láthattam az Einstein-könyvről szóló párbeszédemet.

1981 és 1983 között havi rovatom volt a Scientific American magazinban, amelyet „Metamagical Themas”-nak (Metamágikus témák) neveztem el (ez a „Mathematical Games” [Matematikai játékok] anagrammája, amely cím alatt Martin Gardner csodálatos rovata futott ugyanitt az előző 25 év során). Bár az általam tárgyalt témák a felszínen rendkívül sokfélék voltak, valójában egyesítette őket az „elme és a mintázatok lényegének” folyamatos keresése. Olyan témákat boncolgattam, mint Chopin zenéjének mintázata és költészete; a genetikai kód tetszőlegessége vagy szükségszerűsége; az áltudomány elleni állandó küzdelem stratégiái; az értelmes és az értelmetlen közötti határvonal az irodalomban; a káosz és a furcsa attraktorok a matematikában; a játékelmélet és a fogolydilemma; kreatív analógiák egyszerű számmintázatokkal kapcsolatban; a szexista nyelvhasználat káros hatásai; és még sok más téma. Ezenkívül néha olyan jelenségekkel is foglalkoztam, mint a furcsa hurkok, az önhivatkozás, a rekurzió, valamint egy ezekhez szorosan kapcsolódó jelenség, amelyet „önzáródás”-nak neveztem el. Ebben az értelemben, és abban, hogy számos tudományterületet érintettek, a „Metamagical Themas” esszéi visszatükrözték a GEB szellemiségét.

Noha 1983-ban abbahagytam a rovatot, a következő évben összegyűjtöttem az általam írt esszéket, és mindegyikhez egy lényeges „Post Scriptum”-ot fűztem. Ez a 25 fejezet, kiegészítve nyolc újjal, alkotta az 1985-ben megjelent könyvemet, melynek címe: Metamagical Themas: Questing for the Essence of Mind and Pattern. (Metamágikus témák: kutatás az elme és a minták lényege után). Ebben az egyik új rész egy meglehetősen bohókás Akhilleusz–Teknős-párbeszéd volt, amelynek címe: Who Shoves Whom Around Inside the Careenium? (Ki hat kire ebben a dobozban?). Úgy érzem, hogy ez a párbeszéd talán jobban megragadja a lélekről és a hírhedt „én” szóról, vagyis az „én”-emről alkotott személyes nézeteimet, mint bármi más, amit addig írtam – sőt, talán még a GEB-nél is jobban, bár lehet, hogy ez már túlzás.

A 80-as évek során súlyos „ambigrammitiszben” szenvedtem, amit a barátomtól, Scott Kimtől kaptam el, és ami jó pár évig tartott. Ennek eredményeként született meg az 1987-ben megjelent Ambigrammi című könyvem. Az ambigramma (vagy „inverzió”, ahogy Scott Kim nevezi őket az Inversions című könyvében) egy kalligrafikus rajz, amely ugyanazon vonalak segítségével két különböző olvasatot is megjelenít. Az ambigrammákat elbűvölőnek és intellektuálisan izgalmasnak tartom. Ahogy egyre jobban elsajátítottam ezt a különös, de elegáns művészeti formát, önmegfigyeléseim révén sok új meglátásra tettem szert a kreativitás természetét illetően. Ezért az Ambigrammi nemcsak hozzávetőleg 200 ambigrammát mutat be, hanem szöveget is tartalmaz – méghozzá egy párbeszéd formájában megírt hosszú, kanyargós meditációt a teremtő aktusról. Bár az ambigrammák állnak a középpontjában, a párbeszéd kitekint olyan területekre is, mint a zeneszerzés, a tudományos felfedezés vagy a kreatív írás. Bizonyos okok miatt, amelyek részletezésétől most eltekintek, az Ambigrammi: Un microcosmo ideale per lo studio della creatività (Ambigrammák: egy ideális mikrokozmosz a kreativitás tanulmányozásához) csak olaszul jelent meg, egy piciny kiadónál, a Hopeful Monsternél, és sajnos már nincs kereskedelmi forgalomban.

Későbbi intellektuális utam: a második évtized

Amint korábban említettem, bár az írás alapvető fontosságú számomra, nem ez volt az egyetlen intellektuális fókuszom; a kognitív mechanizmusok kutatása legalább ilyen jelentős szerepet játszott. Korai elképzeléseimet az analógiák és a kreativitás modellezéséről már a GEB XIX. fejezetében is világosan bemutattam, amikor a Bongard-problémákat tárgyaltam. Bár ezek az elképzelések akkoriban csak egy tényleges architektúra csíráit jelentették, úgy érzem, jogosan mondhatom, hogy sokévi fejlesztés dacára e gondolatok nagy része valamilyen formában megtalálható azokban a modellekben, amelyeket kutatócsoportjaim fejlesztettek ki. Ezek a kutatócsoportok részben az Indianai Egyetemen, részben a Michigani Egyetemen működtek, ahol 1984 és 1988 között a Pszichológia Tanszéken dolgoztam.

Miután másfél évtizeden át számítógépes modelleket fejlesztettünk, az idő érettnek tűnt arra, hogy egy könyvben foglaljam össze az összes fő szálat, és világos, érthető nyelven bemutassam a programok alapelveit és működését. Így született meg az évek során a Fluid Concepts and Creative Analogies (Képlékeny fogalmak és kreatív analógiák), amely végül 1995-ben jelent meg nyomtatásban. A könyvben egy sor szorosan összefüggő számítógépes programot mutatok be – ezek a Seek-Whence, Jumbo, Numbo, Copycat, Tabletop, valamint a még fejlesztés alatt álló Metacat és Letter Spirit –, és a programok filozófiai alapjait is tárgyalom, miközben elhelyezem őket a megfelelő kontextusban. A könyv több fejezetét a Fluid Analogies Research Group (FARG) tagjaival közösen írtam, és a FARG-ot kollektív társszerzőként tüntettem fel. A könyv sok szempontból közös vonásokat mutat a GEB-bel, de talán a legfontosabb filozófiai alapgondolata az, hogy „én”-nek lenni – vagyis olyan mély és kitörölhetetlen énképpel rendelkezni, amely az oksággal összemosódik – elkerülhetetlen velejárója és egyben lényegi összetevője annak a rugalmasságnak és képességnek, amely az intelligencia szinonimája. Márpedig az intelligencia nem más, mint fogalmi rugalmasság, amely viszont értelmes szimbólumokkal operál.

Intellektuális életem egy egészen másik szálát jelentette az, hogy aktívan közreműködtem a GEB különböző nyelvekre történő fordításában. Visszatekintve talán elkerülhetetlen volt, hogy ez elvezessen a versfordítás területére. Az egész 1987-ben kezdődött, amikor megpróbáltam egy XVI. századi francia költő, Clément Marot egy gyönyörű kis versét angol nyelven visszaadni. Innen aztán a tevékenységem számos irányba elágazott. Röviden: végül írtam egy összetett és nagyon személyes könyvet a fordításról – a szó legáltalánosabb és legátvittebb értelmében. A könyv írása közben szinte ugyanazt a lelkesedést éreztem, mint húsz évvel korábban, amikor a GEB-en dolgoztam.

Ez a könyv, Le Ton beau de Marot: In Praise of the Music of Language (Marot szépséges hangja: a nyelv zenéjének dicsérete), számos különféle területet érint. Foglalkozik például azzal, hogy mit jelent egy adott nyelven (vagy nyelvek keverékén) „gondolkodni”; hogyan serkentik a korlátok a kreativitást; hogyan sarjad, bimbózik és virágzik ki a jelentés az emberi elmében – és talán egy napon a gépekben is; hogyan olvadnak össze a szavak az összetett kifejezésekben, és vesztik el részben vagy teljesen az egyéni identitásukat; hogyan hasonlíthatna – vagy épp különbözhetne – egy neutroncsillagon beszélt nyelv az emberi nyelvektől; hogyan kellene több száz éve írt költeményeket mai nyelvre átültetni; milyen szoros kapcsolatban áll a fordítás az analógiával és azzal az alapvető emberi folyamattal, hogy megértjük egymást. Továbbá felveti, hogy vannak-e egyáltalán olyan szövegek, amelyek eredendően lefordíthatatlanok; mit jelent nonszensz szövegeket egyik nyelvről a másikra átültetni; és mennyire abszurd azt feltételezni, hogy a mai, többnyire haszonalapú gépi fordítási hókuszpókuszok képesek lennének akár a legegyszerűbb költészetet is megragadni. És így tovább.

A könyv két középső fejezetét egy irodalmi műnek szenteltem, amelybe nemrég szerettem bele: Alekszandr Puskin verses regényének, a Jevgenyij Anyeginnek. Először néhány angol fordításon keresztül találkoztam vele, majd további fordításokat is elolvastam, és lenyűgözött, hogy a fordítók milyen eltérő filozófiával és stílussal közelítették meg a művet. Ez az első lelkesedés lassan odáig vezetett, hogy megpróbáltam elolvasni az eredeti szöveget. Nem tudtam ellenállni annak, hogy a viszonylag gyenge orosz nyelvtudásom ellenére is megpróbáljak lefordítani egy-két strófát. Így kerültem arra a síkos lejtőre, amelyen lecsúszva meglepetésemre egy teljes évet szenteltem a regény – közel 400 ragyogó szonett – angol nyelven történő újraalkotásának. Természetesen ez idő alatt az orosztudásom ugrásszerűen javult, bár még mindig messze vagyok attól, hogy folyékonyan beszéljek oroszul. Amikor ezeket a sorokat írom, az Anyegin-fordításom még nem jelent meg, de várhatóan 1999-ben fog napvilágot látni – nagyjából egy időben az Olvasó kezében lévő könyvvel, a Gödel, Escher, Bach huszadik évi, jubileumi kiadásával. Az 1999-es év az Anyegin-fordítás szempontjából is különösen fontos, hiszen ez Alekszandr Puskin születésének kétszázadik évfordulója.

Előretekintő és visszatekintő könyvek

A Le Ton beau de Marot egy kicsit hosszabb, mint a GEB, és már az első oldalán kijelentem, hogy „az összes általam írt könyv közül valószínűleg ez a legjobb”. Néhány olvasóm szerint a GEB jobb, és értem, miért gondolhatják ezt. De a GEB-et olyan régen írtam, hogy szinte teljesen elhalványult bennem az a varázslatos érzés, amit az írása közben éreztem, míg a LeTbM varázsa még mindig élénken él bennem. Ugyanakkor nem tagadhatom, hogy legalábbis rövid távon a LeTbM hatása sokkal kisebb volt, mint a GEB-é. Be kell vallanom, hogy emiatt nagyon csalódott voltam.

Engedjék meg, hogy eltűnődjek egy pillanatra azon, miért alakulhatott ez így. A GEB bizonyos értelemben „előretekintő” könyv volt – vagy legalábbis a felszínén ezt a benyomást keltette. Sokan úgy üdvözölték, mint a „mesterséges intelligencia bibliáját”, ami természetesen túlzó és nevetséges állítás, de tény, hogy sok fiatal diák olvasta, és sokakat „megfertőzött” azzal a lelkesedéssel, amelyet én magam is érzek a tudat összes nehezen megfogható jellemzőjének modellezése iránt, beleértve az „én” tünékeny céljait, a szabad akaratot és a tudatosságot is. Bár mi sem áll tőlem távolabb, mint hogy futuristának, science fiction-rajongónak vagy technológiai gurunak tartsam magam, mégis gyakran éppen így skatulyáztak be. Ennek oka valószínűleg az, hogy írtam egy hosszú értekezést, amely nagyrészt a számítógépekkel és azok lehetőségeivel foglalkozott – a legfilozófiaibb értelemben –, és mert a könyvem különösen népszerűvé vált a számítógépek iránt érdeklődő fiatalok körében.

Nos, ezzel szemben a Le Ton beau de Marot „visszatekintő” könyvnek tekinthető, nem feltétlenül azért, mert egy XVI. századi vers inspirálta, és számos régi szerzővel foglalkozik – például Dantéval és Puskinnal –, hanem inkább azért, mert a könyv lapjain semmi sem található, amit komolytalan technológiai csillogásnak vagy szürreális futurista ígéreteknek lehetne értelmezni. Nem mintha a GEB-ben lett volna ilyesmi, de sokan mégis hajlamosak voltak valami effélét belelátni, míg a LeTbM esetében ilyen nincs. Sőt, vannak talán olyanok is, akik szerint a könyv kritikus hangvételű a technológiával szemben, mivel sok mesterségesintelligencia-kutatót és gépi fordítással foglalkozó fejlesztőt szembesítek a vad túlzásaikkal. Nem vagyok ezeknek a területeknek az ellensége, de határozottan ellenzem a túlságosan leegyszerűsítő megközelítéseket és az ezen területekhez tartozó kihívások alábecsülését. Hiszen ez végső soron az emberi szellem alábecsüléséhez vezet – márpedig az emberi szellemet mélyen tisztelem.

Mindenki, aki figyelmesen elolvasta a GEB-et, láthatja, hogy ugyanez a „visszatekintő” szemlélet hatja át a könyvet, talán a legkifejezettebben a Kérdések és töprengések című nagyon fontos részben, amely romantikus módon tárja fel az emberi szellem mélységét. Bár a sakkprogramokról tett jóslatom ott fájóan tévesnek bizonyult (ahogyan azt a Deep Blue és Kaszparov 1997-es párharca is megmutatta), ez a néhány oldal mégis egy sor filozófiai meggyőződést fogalmaz meg, amelyekhez ma is rendíthetetlenül ragaszkodom.

Hozzányúlni vagy érintetlenül hagyni?

Mivel teljesen téves volt a sakkal kapcsolatos húsz évvel ezelőtti jóslatom, felmerül a kérdés: miért ne írhatnám át a Kérdések és töprengések részt? Miért ne frissíthetném, és miért ne beszélhetnék arról, hogyan látom mindezt most, a Deep Blue eredményeinek a tükrében? Ez azonban egy sokkal átfogóbb kérdést is felszínre hoz: vajon érdemes lenne-e az 1979-es könyvet teljes egészében átdolgozni, és egy vadonatúj, 1999‑es GEB-kiadással előállni? Mi szólna egy ilyen projekt mellett, és mi szólna ellene?

Nem tagadom, hogy az idegen nyelvű változatokba bekerült néhány apró, de örömteli javítás. Például Bach-szakértő barátom, Bernie Greenberg arról tájékoztatott, hogy a „BACH-serleg”, amely a Contracrostipunctus című párbeszédemben szerepelt, valójában létezik! A valódi serleget nem Bach készítette (ahogy a párbeszéd állítja), hanem egy kiváló tanítványától kapta ajándékba. Ennek ellenére a legfontosabb jellemzője – az, hogy a „BACH” dallam van belevésve az üvegbe – pontosan megfelel a párbeszédben leírtaknak! Ez az elképesztő egybeesés arra késztetett, hogy a valódi serleg létezésére reflektálva újraírjam a párbeszédet a francia változat számára, és ragaszkodtam ahhoz, hogy a francia kiadásban megjelenjen a BACH-serlegről készült fénykép is.

A francia GEB-ben egy másik finom változtatás az volt, hogy Gödel hivatalos, jellegtelen fotóját egy sokkal megnyerőbb felvételre cseréltük. Az új képen Gödel elegáns, fehér öltönyben látható, amint egy erdőben sétál egy idős úrral. Az idős férfi viseltes kalapban és bő nadrágban van, amelyet egy esetlen nadrágtartó tart: pontosan úgy néz ki, mint egy igazi bugris. Ennek megfelelően a kép aláírását is módosítottam: Kurt Gödel avec un paysan non identifié.{8} De aki ismeri a XX. századot, egy szempillantás alatt felismerheti, hogy az „ismeretlen földműves” nem más, mint Albert Einstein.

Miért ne építhetnénk be ezeket a szórakoztató változtatásokat egy átdolgozott angol kiadásba? És ha ennél tovább megyünk, miért ne beszélhetnék arról az úttörő mesterségesintelligencia-programról, a Hearsay II-ről, amelynek kifinomult architektúrája alig egy-két évvel a GEB megjelenése után jelentős hatással volt az én számítógépes modelljeimre is – ráadásul már 1976-ban is hallottam róla? Miért ne boncolgathatnám a gépi fordítás témáját, különösen annak gyengeségeit? Miért ne írhatnék egy teljesen új fejezetet az elmúlt két évtized mesterséges intelligenciával kapcsolatos legígéretesebb fejleményeiről (és/vagy túlzó állításairól), kiemelve a saját kutatócsoportomat és másokat is? Vagy miért ne adhatnék ki egy CD-ROM-ot, ahogy néhányan javasolták, amelyen Escher képei és Bach művei mellett a GEB párbeszédeinek profi színészek által előadott felvételei lennének?

Nos, értem, hogy mi szól ezek mellett a javaslatok mellett, de nem tudom elfogadni őket. A leggyakrabban felvetett CD-ROM-os ötletet a legegyszerűbb visszautasítanom. A GEB-et könyvnek szántam, nem multimédia-cirkusznak, és könyv is fog maradni – pont. A szöveg átdolgozásának gondolata azonban már összetettebb kérdés. Hol húznánk meg a határt? Mi számítana szentnek és sérthetetlennek? Mi maradna meg, és mit vetnénk el? Ha belekezdenék ebbe a munkába, könnyen előfordulhatna, hogy végül minden egyes mondatot át kellene írnom – és ne feledjük, talán még a jó öreg Teknős úr nemét is meg kellene változtatnom…

Lehet, hogy túlságosan ortodox vagyok, lehet, hogy csak egy lusta alak, de kétségtelenül makacs vagyok, aki még csak álmodni sem mer arról, hogy megváltoztassa műve Urtextjét.{9} Ki van zárva! Így aztán még azt sem engedtem meg magamnak, hogy két névvel – Donald Kennedy és Howard Edenberg – bővítsem a „Köszönő szavak” részt, pedig évek óta szomorúan gondolok arra, hogy véletlenül kihagytam őket.

Még a sajtóhibákat sem tervezem kijavítani, noha az évtizedek során rá kellett jönnöm, hogy több van belőlük, mint amennyit a könyv a „Sajtóhibák” címszó alatt az indexben felsorol. Miért vagyok ennyire csökönyös? Miért nem frissítem a Gödel, Escher, Bachot, hogy méltó legyen a XXI. századhoz – sőt, a harmadik évezredhez?

Quærendo Invenietis…

Nos, erre csak azt a választ tudom adni, hogy az élet rövid, és a GEB, hogy úgy mondjam, egy szuszra született. A GEB egy másvalaki álmának tiszta és világos képe volt. Ez a másvalaki, igaz, feltűnően hasonlít rám, de a nézőpontja és a céljai mégis kissé eltértek az enyéimtől. A GEB ennek a személynek volt a szívügye, és ehhez a GEB-hez – legalábbis szerintem – nem szabad hozzányúlni.

Mi több, valamilyen furcsa belső bizonyossággal érzem, hogy a GEB valódi szerzője, ha majd egy szép napon eléri az én mostani érett koromat, még köszönetet fog mondani nekem azért, hogy nem változtattam meg azt az edényt, amelybe ifjú lelkéből oly sokat beletöltött. Hiszen ez az a mű, amelyet ő maga a „vallása kifejezésé”-nek nevezett, ami egyesek számára talán rejtélyes, mások számára naivan romantikus megjegyzésnek tűnhet. Én viszont tudom, hogy mire gondolt.

REQVIESCAT IN CONSTANTIA, ERGO,
REPRÆSENTATIO CVPIDI AVCTORIS RELIGIONIS.{10}

I. RÉSZ

1. ÁBRA: Johann Sebastian Bach 1748-ban. Elias Gottlob Haussmann festménye

Bevezetés:
Zeneo-logikai áldozat

Szerző:

NAGY FRIGYES, Poroszország királya, 1740-ben került uralomra. Bár a történelemkönyvek főként katonai képességeit említik, Frigyest a szellemi élet is mélyen érdekelte. Potsdami udvara a XVIII. századi Európa egyik kiemelkedő szellemi központja volt. Leonhard Euler, az ünnepelt matematikus, huszonöt évet töltött ott. Számos más matematikus, tudós és filozófus is megfordult nála – köztük Voltaire és La Mettrie, akik több nagy hatású művüket éppen ott-tartózkodásuk alatt írták.

De a zene volt Frigyes igazi szenvedélye. Nagyon szeretett fuvolán játszani, lelkes zeneszerző volt. Némelyik szerzeményét még ma is előadják. Frigyes az elsők között ismerte fel az újonnan kifejlesztett „piano-forte” (’halk-hangos’) előnyeit. A zongora a XVIII. század első felében, a csembaló továbbfejlesztésével született meg. A csembaló hátránya az volt, hogy a darabokat csak meglehetősen egyenletes hangerővel lehetett lejátszani – nem volt lehetőség arra, hogy egy hangot hangosabban szólaltassanak meg a többinél. A „halk-hangos”, amint azt a neve is mutatja, megoldást nyújtott erre a problémára. Bartolommeo Cristofori Itáliában készítette el az első zongorát, és innen terjedt el széles körben a fortepiano ötlete. Gottfried Silbermann, korának kiemelkedő német orgonaépítője a „tökéletes” fortepiano megalkotására törekedett. Erőfeszítéseit kétségtelenül Frigyes király támogatta a legnagyobb mértékben – a szóbeszéd szerint a királynak nem kevesebb mint tizenöt Silbermann zongorája volt!

Bach

Frigyes nemcsak a zongorákat csodálta, hanem egy bizonyos J. S. Bach nevű orgonistát és zeneszerzőt is. Bach művei eléggé elhíresültek. Egyesek „dagályosnak és zavarosnak” tartották őket, mások viszont egyedülálló mesterműveknek. De senki sem vitatta Bach páratlan rögtönzési képességét az orgonán. Akkoriban az orgonista cím nemcsak a játéktudást, hanem a rögtönözni tudást is jelentette, Bach pedig messze földön híres volt lenyűgöző improvizációiról. (Bach rögtönzéseiről H. T. David és A. Mendel The Bach Reader című könyvében olvashatunk néhány kiváló anekdotát.)

1747-ben Bach hatvankét éves volt, és híre, valamint egyik fia is eljutott Potsdamba, ugyanis Carl Philipp Emanuel Bach volt Frigyes király udvarának Capellmeistere (karvezetője). A király éveken át finom célzásokat tett Philipp Emanuelnek, hogy mennyire örülne, ha az idősebb Bach meglátogatná, de ez a kívánsága sosem valósult meg. Frigyes különösen azt szerette volna, ha Bach kipróbálja az új Silbermann zongoráit, amelyekről – helyesen – úgy gondolta, hogy új korszakot nyitnak a zenében.

Frigyes szokása volt, hogy esténként kamarazenei koncerteket rendezzen az udvarában. A fuvolaconcertók szólóit gyakran maga játszotta. Az itt közölt reprodukció egy ilyen estét ábrázol. A mű alkotója Adolph von Menzel német festő, aki az 1800-as években Nagy Frigyes életét megörökítő festménysorozatot készített. A csembalónál C. P. E. Bach ül, a jobb szélen Joachim Quantz látható, a király fuvolamestere – az egyetlen személy, aki bírálhatta a király játékmódját. Egy 1747. májusi estén azonban váratlan vendég érkezett az udvarba. Johann Nikolaus Forkel, Bach egyik legkorábbi életrajzírója így meséli el az esetet:

Egy este, amikor a zenészek már összegyűltek, és a király éppen előkészítette a fuvoláját, egy tiszt átadta neki a városba érkezett idegenek névsorát. A király, fuvolával a kezében, gyorsan átfutotta a listát, majd izgatottan az összegyűlt zenészekhez fordult: „Uraim, az öreg Bach megérkezett!” Azonnal félretette a fuvolát, és az öreg Bachot, aki a fia lakhelyére érkezett, rögtön a palotába hívatta. Ezt a történetet Wilhelm Friedemann, Bach fia mesélte el nekem, aki elkísérte az apját, és be kell vallanom, hogy még ma is örömmel idézem fel, milyen élvezetes módon adta elő. Akkoriban igen hosszadalmas üdvözlések voltak divatban. Amikor J. S. Bach először jelent meg egy ilyen nagy király előtt – aki még arra sem hagyott időt neki, hogy utazóruhájából fekete kántorköntösbe öltözzön át –, bizonyára számos bocsánatkérés hangzott el. Ezekkel itt nem kívánok részletesen foglalkozni, csak megjegyzem, hogy Wilhelm Friedemann szerint ezek a bocsánatkérések szinte formális párbeszédet alkottak a király és az apja között. De ami ennél is fontosabb, a király ezen az estén elhalasztotta a koncertjét, és megkérte Bachot – akit akkoriban már „Öreg Bachként” emlegettek –, hogy próbálja ki a Silbermann-féle fortepianókat, amelyek a palota különböző szobáiban voltak. [Forkel itt egy lábjegyzetben megjegyzi: „A freybergi Silbermann által készített zongorák annyira elnyerték a király tetszését, hogy elhatározta, megvásárolja mindet. Tizenöt darabot gyűjtött össze. Úgy hallottam, ezek most használaton kívül, a királyi palota különböző zugaiban állnak.”] A zenészek szobáról szobára kísérték Bachot, és mindenütt megkérték, hogy próbálja ki a zongorákat, és játsszon rajtuk rögtönzéseket. Egy idő után Bach arra kérte a királyt, hogy adjon neki egy fúgatémát, amelyet minden előkészület nélkül, azonnal kidolgozhat. A király elragadtatással figyelte, hogy témájának rögtönzött kidolgozása milyen mesteri módon történt, és hogy lássa, meddig lehet fokozni ezt a művészetet, hallani kívánt egy hatszólamú fúgát. Mivel azonban az ilyen teljes harmóniára nem mindegyik téma alkalmas, Bach maga választott egyet, és a jelenlévők ámulatára azonnal ugyanolyan nagyszerűen és mesterien kidolgozta, mint a király témáját. Őfelsége kíváncsi volt Bach orgonajátékára is, ezért másnap Bachot a Silbermann zongorákhoz hasonlóan az összes potsdami orgonához elvitték. Miután Bach visszatért Lipcsébe, a királytól kapott témát három- és hatszólamú változatban komponálta meg, több kánonformájú szakasszal bővítette, majd a rézmetszésű kiadásnak a „Musikalisches Opfer” (Zenei áldozat vagy Zenei felajánlás) címet adta, és a királynak ajánlotta a művet.[1]

2. ÁBRA: Fuvolakoncert Sanssouciban, Adolph von Menzel festménye (1852)

3. ÁBRA: A Királyi Téma

Bach a Zenei áldozat egy példányával együtt egy ajánlólevelet is küldött a királynak, ami már csak a stílusa miatt is érdekes – eléggé alázatos és hízelgő. Modern nézőpontból komikusnak látszik, ám valószínűleg visszaadja annak a hangulatát, ahogyan Bach az öltözéke miatt mentegette magát.[2]

LEGKEGYESEBB KIRÁLY!

A legmélyebb alázattal egy zenei áldozatot ajánlok Őfelségének, melynek nemesebb része Őfelsége saját fejedelmi kezétől származik. Tiszteletteljes örömmel emlékezem arra a különleges királyi kegyre, amikor nemrég, potsdami látogatásom során, Őfelsége maga méltóztatott egy fúgatémát lejátszani a zongorán, és kegyesen megbízott, hogy Őfelsége legmagasztosabb jelenlétében kidolgozzam azt. Legszerényebb szándékom az volt, hogy engedelmeskedjem e parancsnak. Hamar észrevettem azonban, hogy a szükséges előkészületek hiányában a feladat kivitelezése nem sikerült oly mértékben, ahogyan azt egy ilyen kiváló téma megérdemelte volna. Ezért elhatároztam, hogy azonnal munkához látok, és alaposabban kidolgozom ezt az igazán Királyi Témát, majd megismertetem a világgal. Ezt az elhatározást a lehető legjobb módon valósítottam meg, és nem más, csak az a tiszta szándék vezérelt, hogy ha csak szerény mértékben is, de hozzájáruljak annak az uralkodónak a hírnevéhez, akinek nagyságát és erejét mindenki csodálja és tiszteli, legyen szó akár a polgári és hadi tudományokról, akár különösen a zenéről. Bátorkodom hozzátenni legszerényebb kívánságomat: méltóztasson Őfelsége a jelen szerény munkát kegyes fogadtatásban részesíteni, és tartsa továbbra is legmagasztosabb királyi kegyelmében

Őfelsége legszerényebb
és legengedelmesebb szolgáját,
A SZERZŐT

Lipcse, 1747. július 7.

Mintegy huszonhét évvel később, amikor Bach már huszonnégy éve halott volt, egy Gottfried von Swieten nevű báró – mellesleg ő az, akinek Forkel a Bach-életrajzát, Beethoven pedig az 1. szimfóniáját ajánlotta – Nagy Frigyessel beszélgetett, és erről a következőképpen számolt be:

[Frigyes] egyebek mellett beszélt nekem a zenéről, valamint egy Bach nevű nagy orgonistáról is, aki egy ideig Berlinben tartózkodott. Ez a művész [Wilhelm Friedemann Bach] a harmóniai ismeretek és az előadói képességek terén túlszárnyalt bárkit, akiről valaha is hallottam vagy akit el tudnék képzelni. Akik azonban ismerték az apját, azt állítják, hogy ő még ennél is nagyobb volt. A király is ezen a véleményen van, és hogy ezt bizonyítsa nekem, hangosan elénekelt egy kromatikus fúgatémát, amelyet annak idején ő maga adott az öreg Bachnak, aki azon nyomban négyszólamú, majd ötszólamú, végül nyolcszólamú fúgát komponált belőle.[3]

Természetesen nem tudhatjuk, hogy Nagy Frigyes vagy von Swieten báró nagyította-e fel a valóságnál nagyobbra a történetet. Mindenesetre jól mutatja, hogy ekkorra már mennyire meggyökeresedett Bach legendája.

Hogy érzékeltessük, mennyire rendkívüli teljesítmény egy hatszólamú fúga, elég csak annyit mondanunk, hogy Bach Das wohltemperierte Klavier című művében, amely negyvennyolc prelúdiumot és fúgát tartalmaz, mindössze két ötszólamú fúga található, de hatszólamú egy sincs! Egy hatszólamú fúga rögtönzésének feladata talán ahhoz hasonlítható, mintha valaki hatvan szimultán sakkjátszmát játszana bekötött szemmel, és mindet megnyerné. Egy nyolcszólamú fúga improvizálása pedig már jóval meghaladja az emberi képességek határát.

Abban a példányban, amelyet Bach Frigyes királynak küldött, az első kottalapot megelőző lapon a következő felirat állt:

4. ÁBRA: Regis Iustu Cantio Et Reliqua Canonica Arte Resoluta

(„A király parancsára: a dal és a többi a kánon művészetével megoldva”). Itt Bach a „kánon” szóval játszik, amely nemcsak azt jelenti, hogy „kánonokkal”, hanem azt is, hogy „a lehető legjobb módon”. A felirat kezdőbetűi a

RICERCAR

olasz szót adják, amelynek jelentése: „keresni”. És valóban, a Zenei áldozat bővelkedik keresnivalókban, hiszen tartalmaz egy háromszólamú fúgát, egy hatszólamú fúgát, tíz kánont és egy triószonátát.

A zenetudósok arra a következtetésre jutottak, hogy a háromszólamú fúga lényegében azzal a darabbal azonos, amelyet Bach Frigyes királynak rögtönzött. A hatszólamú fúga Bach egyik legbonyolultabb alkotása, és természetesen a Királyi Téma köré épül. Ez a téma – amely a 3. ábrán látható – rendkívül összetett, szabálytalan ritmusú és nagyon kromatikus (vagyis tele van a hangneméhez nem tartozó hangokkal). Az átlagzenész még egy tisztességes kétszólamú fúgát is nehezen tudna írni erre a témára!

Mindkét fúgán a „Ricercar” felirat szerepel a „Fúga” helyett. A „ricercar” szónak ez a másik jelentése, valójában ez volt az eredeti neve a ma „fúgaként” ismert zenei formának. Bach idejében már a „fúga” (latinul és olaszul „fuga”) szó vált általánossá, de a „ricercar” kifejezés is fennmaradt, és az olyan tudományos igényességű fúgákra utalt, amelyek a hétköznapi fül számára talán túlságosan komolyak és elvontak voltak.

A triószonáta pompás felüdülést jelent a fúgák és kánonok komolysága után, mert nagyon dallamos és lágy, szinte táncolni lehet rá. Ennek ellenére ez is nagyrészt a király témáján alapul, annak kromatikus és komoly jellege ellenére is. Csodálatos, hogy Bach egy ilyen témából ilyen szép közjátékot tudott megalkotni.

A Zenei áldozatban lévő tíz kánon a Bach által írt legbonyolultabb kánonok közé tartozik. Furcsa módon azonban Bach sohasem írta ki őket teljesen. Ezt szándékosan tette. A kánonokat rejtvényként adta Frigyes királynak. Akkoriban gyakran játszották azt, hogy megadtak egy témát néhány többé-kevésbé ravasz útmutatással együtt, és a megadott témán alapuló kánont másvalakivel „fedeztették fel”. Ahhoz, hogy megértsük, hogyan lehetséges ez, tudnunk kell néhány dolgot a kánonokról.

Kánonok és fúgák

A kánon alapgondolata az, hogy egy témát önmagával együtt szólaltassunk meg. Ez úgy valósul meg, hogy a különféle részt vevő szólamok a téma „másolatait” használják. De ez sokféleképpen történhet. A legegyszerűbb kánon a körkörös kánon, például a Pál, Kata, Péter, a Hová mégy te, kis nyulacska? vagy a Bújj, bújj, zöld ág. Ebben az első szólam indítja a témát, majd egy előre meghatározott késleltetés után a téma pontos „másolata” lép be ugyanabban a hangnemben. Ezt követi a harmadik szólam, ugyanakkora késleltetéssel, és így tovább. Így eljárva a legtöbb téma nem harmonizál önmagával. Ahhoz, hogy egy téma kánontéma lehessen, minden hangjegynek kettős (vagy hármas vagy négyes) szerepet kell betöltenie: először is a dallam részét kell képeznie, másodszor pedig egy akkordot kell alkotnia ugyanezzel a dallammal. Ha például három kánonszólam van, akkor a téma minden egyes hangjának két különböző akkordban, valamint az eredeti dallamban is szerepe van. Így a kánon minden hangjának több zenei jelentése van, melyet a hallgató füle és agya a környezet alapján automatikusan értelmez.

Természetesen vannak bonyolultabb kánonok is. A bonyolultság első szintjét az jelenti, amikor a téma „másolatai” nemcsak az időben, hanem a hangmagasságban is eltolódnak egymáshoz képest. Például az első szólam a C-n kezdi a témát, míg a második szólam, amely átfedi az elsőt, ugyanezt a témát négy hanggal feljebb, a G-n indítja. Egy harmadik szólam szintén átfedésben, további négy hanggal feljebb, a D-n lép be, és így tovább. A bonyolultság következő szintjét az adja, amikor a különböző szólamok eltérő sebességgel szólalnak meg. Így például a második szólam az elsőnél kétszer gyorsabb vagy kétszer lassabb lehet. Az első esetet diminúciónak, a másodikat augmentációnak nevezzük (mivel ilyenkor a téma látszólag összezsugorodik vagy kiterjed).

Még nem vagyunk készen! A kánonszerkezetek következő bonyolultsági foka a téma invertálása, ami egy olyan dallam előállítását jelenti, amely mindenhol pontosan ugyanannyi félhanggal ugrik lefelé, mint amennyivel az eredeti fölfelé. Ez egy szokatlan dallamtranszformáció, de ha valaki már sok invertált témát hallott, természetessé válik. Bach különösen kedvelte az inverziókat, és gyakran találkozhatunk velük a műveiben – ez alól a Zenei áldozat sem kivétel. (Ha egy egyszerű példát szeretnénk az inverzióra, próbáljuk ki a Wencelas, jó király dallamát. Ha az eredeti és az invertált dallamot egy oktávnyi hangkülönbséggel, két ütem késleltetéssel éneklik, egy tetszetős kánon jön létre.) Végül a legkülönlegesebb „másolat” a retrográd másolat,  amelynél a témát időben visszafelé játsszák le. Az ilyen technikát alkalmazó kánont rákkánonnak hívják a rák mozgásának sajátossága miatt. Természetesen Bach Zenei áldozatában is szerepel egy rákkánon. Mindegyik „másolat” megőrzi az eredeti téma minden információját, ami azt jelenti, hogy a témát bármelyik másolatból teljes egészében vissza lehet állítani. Az ilyen információmegőrző transzformációt gyakran izomorfizmusnak nevezik. A könyvben még sokszor fogunk találkozni az izomorfizmusokkal.

Néha kívánatos lehet a szigorú kánonforma enyhítése. Ennek egyik módja az, ha a szebb harmónia érdekében a tökéletes másolattól kisebb eltérések is megengedhetők. Néhány kánon „szabad” szólamokat is tartalmaz – olyan szólamokat, amelyek nem a kánon témáját követik, hanem csupán jól harmonizálnak a kánon szólamaival és egymással.

A Zenei áldozatban mindegyik kánon témája a Királyi Téma egy-egy változata, és a kánonok összetettségét fokozó összes fent említett eszközt a végletekig kihasználja – sőt néha ezeket az eszközöket egymással is kombinálja. Például az egyik háromszólamú kánon felirata „Canon per Augmentationem, contrario Motu”; ebben a középső szólam szabad (a Királyi Témát szólaltatja meg), míg a másik kettő kánonszerűen táncol fölötte és alatta, az augmentáció és az inverzió eszközeit használva. Egy másik kánon egyszerűen csak ezt a rejtélyes feliratot viseli: „Quaerendo invenietis” (Kereséssel felfedezed).

Az összes kánonrejtvényt megoldották már. A kánonformájú megoldásokat Bach egyik tanítványa, Johann Philipp Kirnberger adta meg. De még mindig kérdéses, hogy nincsenek-e további, keresésre váró megoldások!

Röviden azt is el kell magyaráznom, hogy mi a fúga. A fúga annyiban hasonlít a kánonhoz, hogy rendszerint egyetlen témán alapul, amelyet különböző szólamok különböző hangnemekben szólaltatnak meg, néha különböző sebességgel, fejtetőre állítva vagy visszafelé játszva. A fúga fogalma azonban sokkal kevésbé merev, mint a kánoné, ennek következtében érzelmi és művészi kifejezőképessége is nagyobb. A fúgáról beszédesen árulkodik a kezdete: a témát egyetlen szólam szólaltatja meg. Miután ez befejeződik, egy másik szólam lép be – rendszerint négy hanggal magasabban vagy három hanggal mélyebben. Közben az első szólam a „melléktémát” szólaltatja meg. Melléktémának olyan másodlagos dallamot választanak, amely a főtémával ritmikai, harmóniai és dallambeli kontrasztot alkot. Egymás után belépnek a szólamok, gyakran a melléktéma kíséretében, miközben a többi szólam aszerint alakul, hogy mi minden jut eszébe a szerzőnek. Ha már minden szólam „megérkezett”, nincsenek további szabályok. Bár vannak szabványos megoldások, ezek nem annyira szabványosak, hogy egy fúgát pusztán egy recept alapján lehessen megírni. A Zenei áldozat két fúgája kiemelkedő példa olyan fúgákra, amelyeket nem lehetett volna „recept alapján szerezni”. Van bennük valami, ami sokkal mélyebb, mint az egyszerű „fugalitás”.

Mindent összevetve, a Zenei áldozat Bach ellenpontozási művészetének egyik csúcsteljesítménye. Maga is egy nagy szellemi fúga, amelyben számos gondolat és forma van összefonva, és amely bővelkedik a játékos kétértelműségekben és finom célzásokban. A Zenei áldozat az emberi szellem örök értékű, csodálatos alkotása. (H. T. David J. S. Bach’s Musical Offering című könyvében az egész mű remek leírása olvasható.)

Egy örökké emelkedő kánon

Van a Zenei áldozatban egy különösen szokatlan kánon, amely egyszerűen a „Canon per Tonos” feliratot viseli, és három szólama van. A legfelső szólam a Királyi Téma egy változatát szólaltatja meg, míg az alatta lévő két szólam egy másik témán alapuló, kánon formájú harmóniát szolgáltat. A pár alsó tagja c-mollban szólaltatja meg a témát (ez az egész kánon hangneme), a pár felső tagja pedig ugyanezt a témát játssza, öt hanggal (kvinttel) magasabban. Ez a kánon abban különbözik a többitől, hogy amikor befejeződik – vagy inkább amikor befejeződni látszik –, már nem c-moll, hanem d-moll a hangneme. Bachnak valahogy sikerült a hallgató orra előtt modulálnia (megváltoztatnia) a hangnemet. A kánon pedig úgy épül fel, hogy ez a „befejezés” ismét simán kapcsolódik a kánon kezdetéhez; így az eljárás megismételhető, és az „e” hangra térünk vissza, hogy aztán ismét beléphessünk az elején. Ezek az egymás utáni modulációk egyre távolabb vezetik a fület az eredeti hangnemtől, így azt várnánk, hogy néhány ismétlés után reménytelenül messze kerülünk az eredeti c-moll hangnemtől. Ennek ellenére csodás módon pontosan hat ilyen moduláció után visszajutunk az eredeti c-moll hangnembe! Az összes szólam pontosan egy oktávval lesz magasabb, mint kezdetben, és itt a darab zeneileg elfogadható módon abbahagyható vagy megszakítható. Azt hihetnénk, hogy ez volt Bach szándéka; de Bach kétségtelenül azt is felismerte, hogy ez a folyamat a végtelenségig folytatható, és talán ezért írta a margóra: „Ahogy a moduláció emelkedik, úgy növekedjék a király dicsősége.” A kánon potenciálisan végtelen jellegét az „örökké emelkedő kánon” elnevezéssel szeretném hangsúlyozni.

Ez a Bach-kánon az első példa a furcsa hurok fogalmára. A „furcsa hurok” jelensége akkor fordul elő, ha egy hierarchikus rendszer szintjei között felfelé (vagy lefelé) mozogva váratlanul ismét az eredeti szinten találjuk magunkat. (Itt a rendszer a zenei hangnemek rendszere.) Az olyan rendszerek leírására, amelyekben furcsa hurkok fordulnak elő, néha a kusza hierarchia kifejezést használom. A továbbiakban a furcsa hurkok témája újra meg újra előkerül. Néha rejtetten, néha nyíltan; néha „fejjel lefelé”, néha visszafelé. Tanácsom az Olvasónak: „Quaerendo invenietis” – „Kereséssel megtalálod”.

Escher

Számomra a furcsa hurkok fogalmának legszebb és legerőteljesebb képi megvalósításai az 1898 és 1971 között élt holland grafikusművész, M. C. Escher műveiben találhatók. Escher alkotta minden idők szellemileg legösztönzőbb rajzait. Művei közül sok paradoxonokon, érzékcsalódásokon vagy kettős jelentésen alapul. Az Escher-rajzok első rajongói matematikusok voltak, ami érthető, hiszen alkotásai gyakran a szimmetria és a mintázatok matematikai alapelveire épülnek. Egy tipikus Escher-rajzban azonban több rejlik, mint csupán szimmetria vagy minta: gyakran egy alapgondolat kap művészi formát bennük. Escher műveiben különösen gyakran fordulnak elő furcsa hurkok. Vegyük például a Vízesés című litográfiát (5. ábra), és hasonlítsuk össze az abban szereplő hatlépcsős, vég nélküli hurkot a „Canon per Tonos”-ban lévő hatlépéses, vég nélkül emelkedő hurokkal. A két látásmód közötti hasonlóság figyelemre méltó. Bach és Escher ugyanazt a témát játssza két különböző „hangnemben”: a zenében és a képzőművészetben.

5. ÁBRA: M. C. Escher: Vízesés (litográfia, 1981)

Escher sokféleképp valósította meg a furcsa hurkokat, ezek a hurok szorossága szerint csoportosíthatók. A leglazább változat az Emelkedés és ereszkedés című litográfia (6. ábra), amelyen szerzetesek menetelnek örökös hurokban, mivel a kiindulóponthoz való visszatérés nagyon sok lépést igényel. A Vízesés szorosabb hurkot tartalmaz, amelynek – mint már láttuk – csak hat különálló lépése van. Felmerülhet a kérdés, hogy mennyire egyértelmű a „lépés” fogalma – például nem tekinthetnénk-e az Emelkedés és ereszkedést négyszintesnek (lépcsősorok) éppen olyan könnyedén, mint negyvenöt szintesnek (lépcsőfokok)? Való igaz, hogy a szintek számának megállapítása nemcsak az Escher-képek, hanem a hierarchikus, sokszintű rendszerek esetén is eredendő bizonytalansággal jár. Később jobban meg fogjuk érteni ezt a bizonytalanságot. De most még ne foglalkozzunk ezzel!

6. ÁBRA: M. C. Escher: Emelkedés és ereszkedés (litográfia, 1960)

Ahogy szorosabbá tesszük a hurkot, a híres Rajzoló kezek című képhez (135. ábra) jutunk, amelyen mindkét kéz a másikat rajzolja: íme egy kétlépéses furcsa hurok. És végül a legszorosabb furcsa hurok a Képtár (142. ábra) című képen valósul meg: egy kép képe, amely önmagát tartalmazza. Vagy egy önmagát tartalmazó képtár képe? Vagy egy önmagát tartalmazó város képe? Vagy egy önmagát tartalmazó fiatalember képe? (Mellesleg, az Emelkedés és ereszkedés, valamint a Vízesés alapját alkotó érzékcsalódást nem Escher, hanem Roger Penrose brit matematikus fedezte fel 1958-ban. A furcsa hurkok témája azonban már 1948-ban jelen volt Escher műveiben, ekkor készítette a Rajzoló kezek című művét. A Képtár 1956-ból származik.)

7. ÁBRA: M. C. Escher: Kéz tükröző golyóval. Önarckép (litográfia, 1935)

A furcsa hurkok fogalmában a végtelen fogalma rejtőzik, hiszen mi más is lenne egy hurok, mint egy végtelen folyamat véges módon történő ábrázolása? A végtelen gondolata Escher számos más rajzán is központi szerepet játszik. Egyetlen téma másolatai gyakran illeszkednek egymáshoz, a Bach-kánonok képi megfelelőiként. Számos ilyen rendszer található a Metamorfózis című híres Escher-nyomaton (8. ábra). Ez a mű egy kicsit olyan, mint az „örökké emelkedő kánon”: egyre messzebb és messzebb távolodik a kiindulóponttól, míg végül hirtelen visszatér oda. A Metamorfózis periodikus csempéiben, valamint más Escher-képeken is ott van a végtelen sugallata. Escher néhány rajzán a végtelen még merészebb formában jelenik meg.

8. ÁBRA: M. C. Escher: Metamorfózis II (fametszet, 19,5×400 cm, 1939–40)

Olykor ugyanaz a téma a valóság különböző szintjein bukkan fel. A rajz egyik szintjéről egyértelműen felismerhető, hogy a képzelet birodalmához tartozik, míg a másik szint valóságosnak látszik. Lehet, hogy a rajzon a szintek közül explicit módon csak ez a kettő szerepel. De már ennek a két szintnek a puszta jelenléte is arra készteti a szemlélőt, hogy önmagát egy másik szinthez tartozónak tekintse; ennek a lépésnek a megtételekor viszont a szemlélő óhatatlanul Escher szintláncolatának fogságába kerül, mivel minden egyes szintre igaz, hogy mindig van egy felette levő, „valóságosabb” szint, és van egy alatta levő, „képzeletbelibb” szint.

Ez már önmagában is zavarba ejtő. De mi történik akkor, ha a szintek láncolata nem lineáris, hanem hurkot alkot? Ilyenkor mi a valóság, és mi a képzelet? Escher zsenialitása abban rejlett, hogy képes volt nemcsak elképzelni, hanem vizuálisan meg is jeleníteni ezeket a félig valóságos, félig képzeletbeli világokat, amelyek tele vannak furcsa hurkokkal, és amelyek szinte hívogatják a szemlélőt, hogy belépjen.

Gödel

Az eddigi példákban szereplő, Bach és Escher által létrehozott furcsa hurkokban ellentmondás van a véges és a végtelen között, emiatt erősen paradox érzést keltenek. Érezzük, hogy valamilyen matematikai dologról van szó. És valóban, a XX. században a furcsa hurkok matematikai megfelelőit is felfedezték, ami súlyos következményekkel járt. Hasonlóan ahhoz, ahogy a bachi és escheri hurkok nagyon egyszerű és ősi gondolatokra épülnek – mint például a zenei skála vagy a lépcső –, K. Gödel felfedezése, amely a matematikai rendszerekben lévő furcsa hurkokra vonatkozik, szintén egyszerű és ősi gondolatokon alapul. Gödel felfedezése a lehető legpőrébb formájában nem más, mint egy ősi filozófiai paradoxon matematikai fogalmakká történő átalakítása. Ez a paradoxon az úgynevezett Epimenidész-paradoxon vagy hazugságparadoxon. Epimenidész Krétán élt, és egy halhatatlan kijelentést tett: „Minden krétai hazudik.” A mondat egy élesebb változata egyszerűen így szól: „Hazudok”. Vagy: „Ez a mondat hamis.” Amikor az Epimenidész-paradoxonról beszélek, általában ezt az utóbbi változatot értem alatta. Ez a kijelentés durván megsérti azt a feltételezést, hogy a mondatok igazak vagy hamisak lehetnek, mert ha kísérletképpen feltételezzük, hogy igaz, akkor azonnal visszalő, és elhiteti velünk, hogy hamis. Ha azonban úgy döntünk, hogy hamis, akkor ugyanúgy visszalő, emiatt vissza kell térnünk ahhoz, hogy igaz. Próbálja ki az Olvasó!

Az Epimenidész-paradoxon, akárcsak Escher Képtár című műve, egy egylépéses furcsa hurok. De milyen kapcsolatban áll a matematikával? Ezt fedezte fel Gödel. Gödel gondolata az volt, hogy a matematikai következtetés vizsgálatára magát a matematikai következtetést alkalmazza. Az „önmagába tekintő” matematika gondolata rendkívül hatékonynak bizonyult, és Gödel ennek a gondolatnak talán az egyik legfontosabb következményét fedezte fel: a Gödel-féle Nemteljességi Tételt. Hogy mit állít a tétel, és hogyan bizonyítható, az két különböző kérdés. Ez a könyv mindkettőt részletesen tárgyalni fogja. A tételt egy igazgyöngyhöz lehet hasonlítani, a bizonyítás módját pedig egy kagylóhoz. A gyöngy a csillogása és egyszerűsége miatt értékes, míg a kagyló egy bonyolult élőlény, amelynek belsejében megszületik ez a rejtélyesen egyszerű ékszer.

Gödel tétele „A Principia Mathematica és a hozzá hasonló rendszerek formálisan eldönthetetlen állításairól I.” című, 1931-es értekezés VI. tételeként jelent meg. A következőt mondja ki:

Minden ω-következetes, κ rekurzív osztályba tartozó formulához tartozik egy olyan r rekurzívosztály-jelölés, amelyre sem ν Gen r, sem Neg(ν Gen r) nem tartozik Flg(κ)-hoz (ahol ν az r szabad változója).

Eredetileg ez németül jelent meg, és talán úgy érezzük, hogy akár németül is maradhatott volna. Ezért íme a tétel egy szokásosabb átirata:

A számelmélet összes következetes axiomatikus megfogalmazása tartalmaz eldönthetetlen állításokat.

Ez a gyöngyszem.

Ebben a gyöngyszemben nehéz észrevenni a furcsa hurkot. Ez azért van így, mert a furcsa hurok a kagylóban rejtőzik – a bizonyításban. Gödel Nemteljességi Tételének bizonyítása egy önmagára hivatkozó matematikai kifejezés megalkotásán alapul, hasonlóan az Epimenidész-paradoxonhoz, amely a nyelv önmagára hivatkozó állítása. Míg azonban a nyelvben viszonylag egyszerűen lehet a nyelvről beszélni, addig egyáltalán nem magától értetődő, hogy egy számokról szóló állítás hogyan utalhat önmagára. Már az is zseniális meglátás volt, hogy az önhivatkozó állítások gondolatát a számelmélettel össze lehet kapcsolni. Amint Gödel rájött, hogy egy ilyen állítás megalkotható, már túl volt a legnagyobb akadályon. Az állítás tényleges létrehozása ennek a csodálatos ötletszikrának a kidolgozása volt.

9. ÁBRA: Kurt Gödel

A későbbi fejezetekben részletesen megvizsgáljuk majd a gödeli szerkezetet, de hogy legyen valami fogalmuk az alapgondolatról, a lényegét néhány vonással itt is felvázolom, remélve, hogy ez gondolatokat ébreszt. Először is, teljesen tisztázni kell a probléma lényegét. A matematikai állítások – összpontosítsunk most a számelméleti állításokra – az egész számok tulajdonságairól szólnak. Azonban sem az egész számok, sem azok tulajdonságai nem állítások. Egy számelméleti állítás nem más számelméleti állításokról szól, hanem önmagában egy állítás. Gödel felismerte, hogy többről van itt szó, mint ahogy az az első ránézésre látszik.

Gödel felismerte, hogy egy számelméleti állítás akkor szólhat egy másik számelméleti állításról (akár önmagáról is), ha az állításokat valamilyen módon számokkal lehet helyettesíteni. Más szóval a gödeli szerkezet középpontjában a kódolás gondolata áll. A Gödel-kódban, amelyet általában „Gödel-számozás”-nak neveznek, a szimbólumokat és szimbólumsorozatokat számokkal helyettesítik. Ezáltal a speciális szimbólumokból álló számelméleti állítások mindegyike kap egy Gödel-számot, amely a telefonszámhoz vagy a rendszámtáblához hasonlóan lehetővé teszi az állításokra való hivatkozást. Ez a kódolási eljárás azt is lehetővé teszi, hogy a számelméleti állításokat két különböző szinten értelmezzük: egyszerre számelméleti állításokként és számelméleti állításokról tett kijelentésekként.

A kódolási séma feltalálása után Gödelnek részletesen ki kellett dolgoznia, hogyan lehet az Epimenidész-paradoxont a számelméleti formalizmusba átültetni. Az Epimenidész-paradoxon végső formája nála nem így hangzott: „Ez a számelméleti állítás hamis”, hanem inkább így: „Ez a számelméleti állítás nem bizonyítható.” Ez a megfogalmazás sok zavart kelthet, mert a „bizonyítás” fogalmát általában elég homályosan értelmezik. Valójában Gödel munkája is része volt annak a hosszú kísérletsorozatnak, amelyben a matematikusok megpróbálták tisztázni, hogy mi is az a bizonyítás. Fontos megjegyezni, hogy a bizonyítások egy rögzített állításrendszeren belül történő levezetések. Gödel esetében a „rögzített rendszer”, melyre a „bizonyítás” szó vonatkozott, a Principia Mathematica (P. M.) rendszere volt. A P. M. Bertrand Russell és Alfred North Whitehead hatalmas munkája volt, amely 1910 és 1913 között jelent meg. Ezért a G Gödel-mondatot magyarul pontosabban így lehetne megfogalmazni:

„Ennek a számelméleti állításnak a Principia Mathematica rendszerében nincs bizonyítása.”

Mellesleg a Gödel-mondat éppúgy nem azonos a Gödel-Tétellel, mint ahogyan az Epimenidész-mondat sem azonos azzal a megfigyeléssel, hogy „Az Epimenidész-mondat paradoxon.” Most már megfogalmazhatjuk, hogy mi a G felfedezésének hatása. Míg az Epimenidész-mondat paradoxont hoz létre, mivel se nem igaz, se nem hamis, addig a G Gödel-mondat bizonyíthatatlan (a P. M.-en belül), de igaz. És a nagy következmény? A Principia Mathematica rendszere „nem teljes” – léteznek olyan számelméleti állítások, amelyek igazak, de a P. M. bizonyítási módszerei túl gyengék ahhoz, hogy azokat bizonyítani tudják.

De a támadásnak a Principia Mathematica csupán az első áldozata volt, nem az utolsó! Beszédes a Gödel értekezésének címében szereplő „és a hozzá hasonló rendszerek” kifejezés, hiszen ha Gödel munkája pusztán Russell és Whitehead művének hiányosságaira mutatott volna rá, másokat könnyen arra ösztönözhetett volna, hogy javítsanak a P. M.-en és kifogjanak a Gödel-Tételen. Ez azonban nem volt lehetséges: Gödel bizonyítása bármely olyan axiómarendszerre érvényes, amely a Russell és Whitehead által kitűzött célokat szerette volna elérni. Ráadásul a különböző rendszerek esetén ugyanaz az alapmódszer működött. Röviden, Gödel megmutatta, hogy a bizonyítás fogalma gyengébb, mint az igazságé, függetlenül attól, hogy milyen axiómarendszert alkalmazunk.

A Gödel-Tétel azért gyakorolt felvillanyozó hatást a matematika alapjai iránt érdeklődő logikusokra, matematikusokra és filozófusokra, mert megmutatta, hogy tetszőlegesen bonyolult rendszerrel sem tudjuk ábrázolni az egész számok bonyolultságát: 0, 1, 2, 3… Lehet, hogy a mai olvasók számára ez már nem annyira meglepő, mint az 1931-es olvasók számára, hiszen azóta kultúránk magába olvasztotta a Gödel-Tétel, a relativitáselmélet és a kvantummechanika forradalmi alapeszméit. Ezek filozófiailag zavarba ejtő üzenetei eljutottak a szélesebb nyilvánossághoz, még ha jó néhány áttételen (többnyire torzításon) keresztül tompítva is. Napjainkban általában „korlátozott” eredményekre számítunk – de 1931-ben a Gödel-Tétel olyan volt, mint derült égből a villámcsapás.

Jegyzetek

Bevezetés: Zeneo-logikai áldozat

[1] H. T. David és A. Mendel: The Bach Reader, pp. 305–6.

[2] Uo., p. 179.

[3] Uo., p. 260.

{1} Small souled men (a fordító kiemelése).

{2} Gödel tétele és az emberi agy.

{3} Tilos, tiltott.

{4} Tudományos munkatárs.

{5} Harsona.

{6} „A rózsák után jöjjenek a tövisek…”

{7} „Houlu úr morgolódásai”.

{8} Kurt Gödel egy ismeretlen földművessel.

{9} Ősszöveg.

{10} Nyugodjon állandóságban, mint szerzője vallásának és szeretetének kifejezése.